로그 수열 합 자연수

[출제의도] 로그의 성질과 시그마의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 모든 자연수 $m$의 값의 합을 구할 수 있는가? $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \log _{2} \sqrt{\frac{2 ( k + 1 )}{k + 2}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \sum\limits _{k = 1} ^{m} \log _{2} \frac{2 ( k + 1 )}{k + 2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \log _{2} \frac{2 \times 2}{3} + \log _{2} \frac{2 \times 3}{4} + \log _{2} \frac{2 \times 4}{5} + \cdots \right.$$\displaystyle \left. + \log _{2} \frac{2 \times ( m + 1 )}{m + 2} \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \log _{2} \left\{ \frac{2 \times 2}{3} \times \frac{2 \times 3}{4} \times \frac{2 \times 4}{5} \times \cdots \right.$$\displaystyle \times \frac{2 \times ( m + 1 )}{m + 2} \}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \log _{2} \frac{2 ^{m + 1}}{m + 2}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} = \mathrm{N} ( N$은 $100$ 이하의 자연수) 라 하면 $\displaystyle \frac{1}{2} \log _{2} \frac{2 ^{m + 1}}{m + 2} = \mathrm{N}$ $\displaystyle \frac{2 ^{m + 1}}{m + 2} = 2 ^{2 \mathrm{N}}$ $2 ^{m + 1 - 2 \mathrm{N}} = m + 2$ 따라서 $m + 2$는 $2$의 거듭제곱이어야 한다. (ⅰ) $m + 2 = 2 ^{2}$, 즉 $m = 2$일 때 $2 ^{3 - 2 \mathrm{N}} = 2 ^{2}$ $\displaystyle 3 - 2 \mathrm{N} = 2 , N = \frac{1}{2}$ $\mathrm{N}$은 $100$ 이하의 자연수이므로 $m \ne 2$ (ⅱ) $m + 2 = 2 ^{3}$, 즉 $m = 6$일 때 $2 ^{7 - 2 \mathrm{N}} = 2 ^{3}$ $7 - 2 \mathrm{N} = 3 , N = 2$ (ⅲ) $m + 2 = 2 ^{4}$, 즉 $m = 14$일 때 $2 ^{15 - 2 \mathrm{N}} = 2 ^{4}$ $\displaystyle 15 - 2 \mathrm{N} = 4 , N = \frac{11}{2}$ $\mathrm{N}$은 $100$ 이하의 자연수이므로 $m \ne 14$ (ⅳ) $m + 2 = 2 ^{5}$, 즉 $m = 30$일 때 $2 ^{31 - 2 \mathrm{N}} = 2 ^{5}$ $31 - 2 \mathrm{N} = 5 , N = 13$ (ⅴ) $m + 2 = 2 ^{6}$, 즉 $m = 62$일 때 $2 ^{63 - 2 \mathrm{N}} = 2 ^{6}$ $\displaystyle 63 - 2 \mathrm{N} = 6 , N = \frac{57}{2}$ $\mathrm{N}$은 $100$ 이하의 자연수이므로 $m \ne 62$ (ⅵ) $m + 2 = 2 ^{7}$, 즉 $m = 126$일 때 $2 ^{127 - 2 \mathrm{N}} = 2 ^{7}$ $127 - 2 \mathrm{N} = 7 , N = 60$ (ⅶ) $m + 2 \geq 2 ^{8}$일 때 $\mathrm{N} > 100$ (ⅰ) ~(ⅶ)에서 ∴ $m = 6$, $30$, $126$ 따라서 모든 $m$의 값의 합은 ∴ $6 + 30 + 126 = 162$