로그 순서쌍 개수

1) $n = 2$일 때 ㄱ) $a < 2 ^{k}$ 일 때, $b \leq \log _{2} a$ $\therefore$$2 ^{b} \leq a < 2 ^{k}$ $b = 1$ 이면 $a$는 $\left( 2 ^{k} - 2 ^{1} \right)$개 $b = 2$ 이면 $a$는 $\left( 2 ^{k} - 2 ^{2} \right)$개 $b = 3$ 이면 $a$는 $\left( 2 ^{k} - 2 ^{3} \right)$개 $\vdots$ $b = k - 1$ 이면 $a$는 $\left( 2 ^{k} - 2 ^{k - 1} \right)$개 $\therefore ( a , b )$의 개수 $= \left( 2 ^{k} - 2 ^{1} \right) + \left( 2 ^{k} - 2 ^{2} \right) + \left( 2 ^{k} - 2 ^{3} \right) + \cdots + \left( 2 ^{k} - 2 ^{k - 1} \right)$ $\displaystyle = ( k - 1 ) 2 ^{k} - \frac{2 ( 2 ^{k} - 1 )}{2 - 1}$ $= ( k - 2 ) 2 ^{k} + 2$ ㄴ) $a \geq 2 ^{k}$ 일 때, $b \leq - ( a - 2 ^{k} ) ^{2} + k ^{2}$ $a = 2 ^{k}$ 이면, $1 \leq b \leq k ^{2}$ 에서 $b$는 $k ^{2}$개 $a = 2 ^{k} + 1$ 이면, $1 \leq b \leq k ^{2} - 1 ^{2}$ 에서 $b$는 $( k ^{2} - 1 ^{2} )$개 $a = 2 ^{k} + 2$ 이면, $1 \leq b \leq k ^{2} - 2 ^{2}$ 에서 $b$는 $( k ^{2} - 2 ^{2} )$개 $\vdots$ $a = 2 ^{k} + k - 1$ 이면, $1 \leq b \leq k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2}$ 에서 $b$는 $( k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2} )$개 $\therefore ( a , b )$의 개수 $= k ^{2} + ( k ^{2} - 1 ^{2} ) + ( k ^{2} - 2 ^{2} ) + \cdots + ( k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2} )$ $\displaystyle = k \times k ^{2} - \frac{1}{6} ( k - 1 ) k ( 2 k - 1 )$ $\displaystyle = \frac{1}{6} ( 4 k ^{3} + 3 k ^{2} - k )$ ㄱ),ㄴ)에서 $\displaystyle \left\{ ( k - 2 ) 2 ^{k} + 2 \right\} + \left\{ \frac{1}{6} ( 4 k ^{3} + 3 k ^{2} - k ) \right\} \geq 300$ $\therefore k \geq 6$ $\therefore f ( 2 ) = 6$ 2) $n = 3$일 때, 같은 방법으로 $f ( 3 ) = 5$ 3) $n = 4$일 때, 같은 방법으로 $f ( 4 ) = 4$ $\therefore f ( 2 ) \times f ( 3 ) \times f ( 4 ) = 120$