대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그 성질 증명 빈칸

문제

다음은 󰡐a,ba , b가 11이 아닌 양의 실수 일 때, log⁡ab=log⁡ba\log _{a} b = \log _{b} a이면 a2+1b2+1=ab\displaystyle \frac{a ^{2} + 1}{b ^{2} + 1} = \frac{a}{b}이다.󰡑⋯⋯(∗)\cdots \cdots ( \ast )가 성립함을 증명한 것이다. [3점] [증명] log⁡ba=1□(가)\displaystyle \log _{b} a = \frac{1}{\square {( \text{가} )}}이고 가정에서 log⁡ab=log⁡ba\log _{a} b = \log _{b} a이므로 log⁡ab=1\log _{a} b = 1 또는 log⁡ab=−1\log _{a} b = - 1이다. (ⅰ) log⁡ab=1\log _{a} b = 1일 때, a2+1b2+1=□(나)\displaystyle \frac{a ^{2} + 1}{b ^{2} + 1} = \square {( \text{나} )}이고 ab=□(나)\displaystyle \frac{a}{b} = \square {( \text{나} )}이다. (ⅱ) log⁡ab=−1\log _{a} b = - 1일 때, a2+1b2+1=□(다)\displaystyle \frac{a ^{2} + 1}{b ^{2} + 1} = \square {( \text{다} )}이고 ab=□(다)\displaystyle \frac{a}{b} = \square {( \text{다} )}이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 a2+1b2+1=ab\displaystyle \frac{a ^{2} + 1}{b ^{2} + 1} = \frac{a}{b}이므로 (∗)\left( \ast \right)가 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

(가)(나)(다)
①log⁡ab\log _{a} b−1- 1b2b ^{2}
②log⁡b1a\displaystyle \log _{b} \frac{1}{a}−1- 1abab
③log⁡ab\log _{a} b11a2a ^{2}
④log⁡b1a\displaystyle \log _{b} \frac{1}{a}−1- 1a2a ^{2}
⑤log⁡ab\log _{a} b11b2b ^{2}
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③

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해설

[출제의도] 로그의 뜻과 그 성질을 이해하여 추론하기 (가) log⁡ab\log _{a} b (나) 11 (다) a2a ^{2}

태그

#로그의 성질#빈칸 추론

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