로그 조건과 곱의 최솟값

[출제의도] 로그함수를 이용하여 함숫값 추론하기 조건 (가)에서 $\left| \log _{3} a - \log _{3} b \right| \leq 1$이므로 $\displaystyle - 1 \leq \log _{3} \frac{a}{b} \leq 1$이고 $\displaystyle \frac{1}{3} \leq \frac{a}{b} \leq 3$이다. 이때, $b > 0$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} b \leq a \leq 3 b$이다. 조건 (나)에서 $a = 3 - b$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} b \leq 3 - b \leq 3 b$이고, 이 부등식의 해는 $\displaystyle \frac{3}{4} \leq b \leq \frac{9}{4}$이다. 한편, $\displaystyle ab = \left( 3 - b \right) b = \mathit{-} \left( b - \frac{3}{2} \right) ^{2} + \frac{9}{4}$ $\displaystyle \left( \frac{3}{4} {\leq} b {\leq} \frac{9}{4} \right)$ 이므로 $ab$는 $\displaystyle b = \frac{3}{4}$ 또는 $\displaystyle b = \frac{9}{4}$에서 최솟값 $\displaystyle m = \frac{27}{16}$을 가진다. 그러므로 $\displaystyle f \left( m \right) = \log _{3} \frac{27}{16} = 3 - \log _{3} 16$이다. 따라서 $k = 16$이다.