로그 조건 삼각형의 개수

삼각형 $OAB$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( a + 2 ) \times ( 3 ^{n} + b ) - \frac{1}{2} \times 2 \times 3 ^{n} - \frac{1}{2} ab$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( a \bullet 3 ^{n} + ab + 2 \bullet 3 ^{n} + 2 b ) - 3 ^{n} - \frac{1}{2} ab$ $\displaystyle = \frac{3 ^{n}}{2} a + b$ 이때, 넓이가 50이하이므로 $\displaystyle \frac{3 ^{n}}{2} a + b \leq 50$ $\therefore 3 ^{n} a + 2 b \leq 100 \cdots ( \text{ㄱ} )$ (ⅰ) $n = 1$일 때, (ㄱ)에서 $3 a + 2 b \leq 100$이므로 $a$의 값은 $2 , 3 , \cdots , 32$의 값을 가질 수 있다. 이때, $b \leq \log _{2} a$를 만족시키므로 $2 ^{1} \leq a < 2 ^{2}$일 때, $b = 1$ $2 ^{2} \leq a < 2 ^{3}$일 때, $b = 1 , 2$ $2 ^{3} \leq a < 2 ^{4}$일 때, $b = 1 , 2 , 3$ $2 ^{4} \leq a < 30$일 때, $b = 1 , 2 , 3 , 4$ $a = 31$일 때, $b = 1 , 2 , 3$ $a = 32$일 때, $b = 1 , 2$ $f ( 1 )$은 순서쌍 $( a , b )$의 개수와 같으므로 $f ( 1 ) = 1 \times ( 2 ^{2} - 1 ^{1} ) + 2 \times ( 2 ^{3} - 2 ^{2} ) + 3 \times ( 2 ^{4} - 2 ^{3} )$ $+ 4 \times ( 30 - 2 ^{4} + 1 ) + 3 + 2$ $= 2 + 8 + 24 + 60 + 3 + 2 = 99$ (ⅱ) $n = 2$일 때, (ㄱ)에서 $9 a + 2 b \leq 100$ 이므로 $a$의 값은 $2 , 3 , \cdots , 10$의 값을 가질 수 있다. 이때, $b \leq \log _{2} a$를 만족시키므로 $2 ^{1} \leq a < 2 ^{2}$일 때, $b = 1$ $2 ^{2} \leq a < 2 ^{3}$일 때, $b = 1 , 2$ $2 ^{3} \leq a < 10$일 때, $b = 1 , 2 , 3$ $f ( 2 )$은 순서쌍 $( a , b )$의 개수와 같으므로 $f ( 2 ) = 1 \times ( 2 ^{2} - 1 ^{1} ) + 2 \times ( 2 ^{3} - 2 ^{2} ) + 3 \times 3$ $= 2 + 8 + 9 = 19$ (ⅲ) $n = 3$일 때, (ㄱ)에서 $27 a + 2 b \leq 100$ 이므로 $a$의 값은 $2 , 3$의 값을 가질 수 있다. 이때, $b \leq \log _{2} a$를 만족시키므로 $a = 2 , 3$일 때, $b = 1$ $f ( 3 )$은 순서쌍 $( a , b )$의 개수와 같으므로 $f ( 3 ) = 2$ 따라서, (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) = 99 + 19 + 2 = 120$