로그 조건 집합

[출제의도] 로그의 정의를 이용하여 집합의 원소의 개수 추론하기 $\displaystyle \log _{a} b = \frac{k}{2}$$\leftrightarrow$ $\displaystyle b = a ^{\frac{k}{2}}$$\leftrightarrow$ $b ^{2} = a ^{k}$이므로 $\displaystyle \left. A _{k} = \left\{ \frac{b}{a} \right| b ^{2} = a ^{k} \right.$, $a$와 $b$는 $2$ 이상 $100$ 이하의 자연수$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right\}$이다. ($\mathrm{i} )$ $k = 3$일 때 $b ^{2} = a ^{3}$을 만족하는 자연수 $a$, $b$의 순서쌍은 $\left( 2 ^{2} , 2 ^{3} \right)$, $\left( 3 ^{2} , 3 ^{3} \right)$, $\left( 4 ^{2} , 4 ^{3} \right)$이므로 $A _{3} = \left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$이다. 따라서 $n \left( A _{3} \right) = 3$이다. ($\mathrm{ii} )$ $k = 4$일 때 $b ^{2} = a ^{4}$을 만족하는 자연수 $a$, $b$의 순서쌍은 $\left( 2 , 2 ^{2} \right)$, $\left( 3 , 3 ^{2} \right)$, $\left( 4 , 4 ^{2} \right)$, $\cdots$, $\left( 9 , 9 ^{2} \right)$, $\left( 10 , 10 ^{2} \right)$ 이므로 $A _{4} = \left\{ 2 , 3 , 4 , \cdots , 10 \right\}$이다. 따라서 $n \left( A _{4} \right) = 9$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $n \left( A _{3} \right) + n \left( A _{4} \right) = 3 + 9 = 12$이다.