로그 집합 원소 수

[출제의도] 로그의 정의를 이용하여 집합의 원소 추론하기 $A _{4} = \left\{ \log _{4} x \left| x \text{는} 100 \text{이하의} \text{자연수} \right\} \right.$이고 $10$이하의 자연수 $k$에 대하여 $b = 2 ^{k}$이므로 $A _{b} = \left\{ \log _{2 ^{k}} y \left| y \text{는} 100 \text{이하의} \text{자연수} \right\} \right.$이다. 집합 $A _{4} \cap A _{b}$의 원소의 개수는 $\log _{4} x = \log _{2 ^{k}} y$가 성립하는 순서쌍 $\left( x , y \right)$의 개수와 같다. $\log _{4} x = \log _{2 ^{k}} y$이면 $\displaystyle \frac{1}{2} \log _{2} x = \frac{1}{k} \log _{2} y$, $\log _{2} x ^{k} = \log _{2} y ^{2}$이므로 $x ^{k} = y ^{2}$이 성립한다. 따라서 $1 \leq x \leq 100$, $1 \leq y \leq 100$에서 $x ^{k} = y ^{2}$이 성립하는 순서쌍 $\left( x , y \right)$의 개수를 구하면 된다. ① $k = 1$이면 $x = y ^{2}$이므로 $\left( x , y \right) = \left( 1 ^{2} , 1 \right)$, $\left( 2 ^{2} , 2 \right)$, $\left( 3 ^{2} , 3 \right)$, $\cdots$, $\left( 10 ^{2} , 10 \right)$이고 $n \left( A _{4} \cap A _{2 ^{1}} \right) = 10$ ② $k = 2$이면 $x ^{2} = y ^{2}$이므로 $\left( x , y \right) = \left( 1 , 1 \right)$, $\left( 2 , 2 \right)$, $\left( 3 , 3 \right)$, $\cdots$, $\left( 100 , 100 \right)$이고 $n \left( A _{4} \cap A _{2 ^{2}} \right) = 100$ ③ $k = 3$이면 $x ^{3} = y ^{2}$이므로 $\left( x , y \right) = \left( 1 ^{2} , 1 ^{3} \right)$, $\left( 2 ^{2} , 2 ^{3} \right)$, $\left( 3 ^{2} , 3 ^{3} \right)$, $\left( 4 ^{2} , 4 ^{3} \right)$이고 $n \left( A _{4} \cap A _{2 ^{3}} \right) = 4$ ④ $k = 4$이면 $x ^{4} = y ^{2}$, 즉 $x ^{2} = y$이므로 $\left( x , y \right) = \left( 1 , 1 ^{2} \right)$, $\left( 2 , 2 ^{2} \right)$, $\left( 3 , 3 ^{2} \right)$, $\cdots$,$\left( 10 , 10 ^{2} \right)$이고 $n \left( A _{4} \cap A _{2 ^{4}} \right) = 10$ ⑤ $k = 5$이면 $x ^{5} = y ^{2}$이므로 $\left( x , y \right) = \left( 1 ^{2} , 1 ^{5} \right)$, $\left( 2 ^{2} , 2 ^{5} \right)$이고 $n \left( A _{4} \cap A _{2 ^{5}} \right) = 2$ ⑥ $k = 6$이면 $x ^{6} = y ^{2}$, 즉 $x ^{3} = y$이므로 $\left( x , y \right) = \left( 1 , 1 ^{3} \right)$, $\left( 2 , 2 ^{3} \right)$, $\left( 3 , 3 ^{3} \right)$, $\left( 4 , 4 ^{3} \right)$이고 $n \left( A _{4} \cap A _{2 ^{6}} \right) = 4$ ⑦ $k = 7$이면 $x ^{7} = y ^{2}$이므로 $\left( x , y \right) = \left( 1 ^{2} , 1 ^{7} \right)$이고 $n \left( A _{4} \cap A _{2 ^{7}} \right) = 1$ ⑧ $k = 8$이면 $x ^{8} = y ^{2}$, 즉 $x ^{4} = y$이므로 $\left( x , y \right) = \left( 1 , 1 ^{4} \right)$, $\left( 2 , 2 ^{4} \right)$, $\left( 3 , 3 ^{4} \right)$이고 $n \left( A _{4} \cap A _{2 ^{8}} \right) = 3$ ⑨ $k = 9$이면 $x ^{9} = y ^{2}$이므로 $\left( x , y \right) = \left( 1 ^{2} , 1 ^{9} \right)$이고 $n \left( A _{4} \cap A _{2 ^{9}} \right) = 1$ ⑩ $k = 10$이면 $x ^{10} = y ^{2}$, 즉 $x ^{5} = y$이므로 $\left( x , y \right) = \left( 1 , 1 ^{5} \right)$, $\left( 2 , 2 ^{5} \right)$이고 $n \left( A _{4} \cap A _{2 ^{10}} \right) = 2$ 그러므로 만족하는 집합 $B$의 원소는 $2 ^{3}$, $2 ^{6}$이므로 모든 $b$의 값의 합은 $8 + 64 = 72$