로그 직선의 y절편

[출제의도] 로그의 정의와 성질을 활용하여 식의 값을 구할 수 있는가? 두 점 $\left( a , \log _{2} a \right)$, $\left( b , \log _{2} b \right)$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{\log _{2} b - \log _{2} a}{b - a} ( x - a ) + \log _{2} a$ 그러므로 이 직선의 $y$절편은 $x = 0$을 대입하면 $y$절편은 $\displaystyle - \frac{a \left( \log _{2} b - \log _{2} a \right)}{b - a} + \log _{2} a$ $\cdots \cdots$ ㉠ 두 점 $\left( a , \log _{4} a \right)$, $\left( b , \log _{4} b \right)$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{\log _{4} b - \log _{4} a}{b - a} ( x - a ) + \log _{4} a$ 그러므로 이 직선의 $y$절편은 $\displaystyle - \frac{a \left( \log _{4} b - \log _{4} a \right)}{b - a} + \log _{4} a$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2} \times \frac{a \left( \log _{2} b - \log _{2} a \right)}{b - a} + \frac{1}{2} \log _{2} a$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡이 같으므로 $\displaystyle - \frac{a \left( \log _{2} b - \log _{2} a \right)}{b - a} + \log _{2} a$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2} \times \frac{a \left( \log _{2} b - \log _{2} a \right)}{b - a} + \frac{1}{2} \log _{2} a$ 이 식을 정리하면 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \log _{2} a$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{a \left( \log _{2} b - \log _{2} a \right)}{b - a}$ $\log _{2} a$$\displaystyle = \frac{a \left( \log _{2} b - \log _{2} a \right)}{b - a}$ $\left( b - a \right) \log _{2} a$$\displaystyle = a \log _{2} \frac{b}{a}$ $\log _{2} a ^{b - a}$$\displaystyle = \log _{2} \left( \frac{b}{a} \right) ^{a}$ $a ^{b - a}$$\displaystyle = \frac{b ^{a}}{a ^{a}}$ $a ^{b} = b ^{a}$ $\cdots \cdots$ ㉢ 한편, $f ( x ) = a ^{bx} + b ^{ax}$이고 $f ( 1 ) = 40$이므로 $a ^{b} + b ^{a}$$= 40$ ㉢을 대입하면 $a ^{b} + a ^{b}$$= 40$ $a ^{b}$$= 20$ 따라서 $b ^{a}$$= 20$이므로 $f ( 2 )$$= a ^{2b} + b ^{2a}$ $= \left( a ^{b} \right) ^{2} + \left( b ^{a} \right) ^{2}$ $= 20 ^{2} + 20 ^{2}$ $= 800$