미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

실수 전체의 집합에서 $f \left( x \right) > 0$ 이고 도함수가 연속인 함수 $f \left( x \right)$ 가 있다. 실수 전체의 집합에서 함수 $g ( x )$ 가 $\displaystyle g \left( x \right) = \int _{0} ^{x} {\ln f \left( t \right) dt}$ 일 때, 함수 $g \left( x \right)$ 와 $g \left( x \right)$ 의 도함수 $g' \left( x \right)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g \left( x \right)$ 는 $x = 1$ 에서 극값 $2$ 를 갖는다. (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g' \left( - x \right) = g' \left( x \right)$ 이다.

$\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {\frac{xf' \left( x \right)}{f \left( x \right)} dx}$ 의 값은? [4점] ① $- 4$ ② $- 2$ ③ $0$ ④ $2$ ⑤ $4$

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①

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해설

$\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} {\ln f ( t ) dt}$ 에서 $g ( 0 ) = 0$ , $g' ( x ) = \ln f ( x )$ , $\displaystyle g'' ( x ) = \frac{f' ( x )}{f ( x )}$ 조건 (가)에 의하여 $g ( 1 ) = 2$ , $g' ( 1 ) = 0$ 조건 (나)에 의하여 $g' ( - 1 ) = g' ( 1 ) = 0$ $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {\frac{xf' ( x )}{f ( x )} dx}$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} {x g'' ( x )} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} xg' ( x ) \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{- 1} ^{1} - \int _{- 1} ^{1} {g' ( x )} dx$ $\displaystyle = g' ( 1 ) + g' ( - 1 ) - 2 \int _{0} ^{1} {g' ( x )} dx$ $= 2 g' ( 1 ) - 2 \left\{ g ( 1 ) - g ( 0 ) \right\}$ $= 2 \times 0 - 2 ( 2 - 0 ) = - 4$

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