로그 자연수 조건

$\log _{2} ( na - a ^{2} ) = \log _{2} ( nb - b ^{2} ) = m$($m$은 자연수)라 하자. $na - a ^{2} = nb - b ^{2} = 2 ^{m}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ㉠ $\displaystyle 0 < b - a \leq \frac{n}{2}$이므로 $( b - a ) ( b + a - n ) = 0$으로부터 $b + a = n$ ∴ $\displaystyle 0 < 2 b - n \leq \frac{n}{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ㉡ ㉠으로부터 $nb - b ^{2} = 2 ^{m}$ $\leftrightarrow$ $b ^{2} - n b + 2 ^{m} = 0$이므로 $\displaystyle b = {n \pm \frac{\sqrt{n ^{2} - 2 ^{m+2}}}{2}}$ $\leftrightarrow$ $\displaystyle 2 b - n = \pm \sqrt{n ^{2} - 2 ^{m+2}}$ 이를 ㉡에 넣어 정리하면 $\displaystyle 0 < \sqrt{n ^{2} - 2 ^{m+2}} \leq \frac{n}{2}$ 각 변을 제곱한 후 이항하면 $\displaystyle 2 ^{m+2} < n ^{2} \leq \frac{1}{3} \cdot 2 ^{m+4}$ $m = 1 , 2 , 3 , 4 , \cdots$을 대입해보면 위 식을 만족하는 $20$ 이하의 자연수 $n$은 $3$, $6$, $9$, $12$, $13$, $17$, $18$이 됨을 알 수 있다. 따라서 $3 + 6 + 9 + 12 + 13 + 17 + 18 = 78$