로그 합성함수 적분

[출제의도] 정적분의 성질과 부분적분법을 이용하여 문제를 해결한다. 함수 $g ( x )$의 한 부정적분을 $G ( x )$라 하자. 조건 (가)에서 $\displaystyle \int _{2 a} ^{3 a + x} {g \left( t \right) dt}$$\displaystyle = \int _{3 a - x} ^{2 a + 2} {g \left( t \right) dt}$ $G ( 3 a + x ) - G ( 2 a )$$= G ( 2 a + 2 ) - G ( 3 a - x )$ 위 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g ( 3 a + x )$$= g ( 3 a - x )$ $\cdots \cdots$ ㉠ 모든 실수 $x$에 대하여 ㉠이 성립하므로 함수 $y$$= g ( x )$의 그래프는 직선 $x$$= 3 a$에 대하여 대칭이다. $\displaystyle \int _{2 a} ^{3 a + x} {g \left( t \right) dt}$$\displaystyle = \int _{3 a - x} ^{2 a + 2} {g \left( t \right) dt}$$\displaystyle = \int _{3 a - x} ^{4 a} {g \left( t \right) dt} + \int _{4 a} ^{2 a + 2} {g \left( t \right) dt}$ $\displaystyle \int _{2 a} ^{3 a + x} {g \left( t \right) dt}$$\displaystyle = \int _{3 a - x} ^{4 a} {g \left( t \right) dt}$에서 $\displaystyle \int _{4 a} ^{2 a + 2} {g \left( t \right) dt}$$= 0$ 조건 (가)에서 $g ( x ) > 0$이므로 $2 a + 2$$= 4 a$, $a$$= 1$ $f ( x )$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이므로 $h ( x )$$= f ( x ) + f' ( x ) + 1$$= x ^{2} + px + q$ ($p$, $q$는 상수)라 하자. 함수 $y$$= g ( x )$의 그래프는 직선 $x$$= 3$에 대하여 대칭이므로 $g ( 4 )$$= g ( 2 )$, 즉 $h ( 4 )$$= h ( 2 )$ $16 + 4 p + q$$= 4 + 2 p + q$에서 $p$$= - 6$ 조건 (나)에서 $h ( 4 )$$= 5$이므로 $16 - 24 + q$$= 5$에서 $q$$= 13$ $h ( x )$$= x ^{2} - 6 x + 13$에서 $h' ( x )$$= f' ( x ) + f'' ( x )$$= f' ( x ) + 2$ $\displaystyle \int _{3} ^{5} {\left\{ f' \left( x \right) + 2 a \right\} g \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{3} ^{5} {\left\{ f' \left( x \right) + 2 \right\} g \left( x \right) dx}$$\displaystyle = \int _{3} ^{5} {h' \left( x \right) \ln h \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} h ( x ) \ln h ( x ) \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{3} ^{5} - \int _{3} ^{5} {\left\{ h ( x ) \times \frac{h' ( x )}{h ( x )} \right\}} dx$ $= h ( 5 ) \ln h ( 5 ) - h ( 3 ) \ln h ( 3 ) - \left\{ h ( 5 ) - h ( 3 ) \right\}$ $= 8 \ln 8 - 4 \ln 4 - ( 8 - 4 )$$= - 4 + 16 \ln 2$ 따라서 $m$$= - 4$, $n$$= 16$이므로 $m + n$$= 12$