로그 함수방정식 빈칸

[출제의도] 로그방정식을 이용하여 추론하기 $x \neq 1$인 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle f \left( f \left( x \right) \right) = 2 ^{\frac{1}{\log _{2} f \left( x \right)}}$에서 $\displaystyle 8 \times f \left( f \left( x \right) \right) = 2 ^{\left( \square {3} + \frac{1}{\log _{2} f \left( x \right)} \right)}$이고, $\displaystyle f \left( x \right) = 2 ^{\frac{1}{\log _{2} x}}$에서 $\displaystyle \log _{2} f \left( x \right) = \frac{1}{\square {\log _{2} x}}$이다. $\displaystyle f \left( x ^{2} \right) = 2 ^{\frac{1}{\log _{2} x ^{2}}} = 2 ^{\frac{1}{2 \log _{2} x}}$이므로 방정식 $8 \times f \left( f \left( x \right) \right) = f \left( x ^{2} \right)$에서 $\displaystyle 2 ^{\left( \square {3} + \square {\log _{2} x} \right)} = 2 ^{\frac{1}{2 \log _{2} x}}$ $\displaystyle \square {3} + \square {\log _{2} x} = \frac{1}{2 \log _{2} x}$ 그러므로 방정식 $8 \times f \left( f \left( x \right) \right) = f \left( x ^{2} \right)$의 모든 해는 방정식 $\left( \square {3} + \square {\log _{2} x} \right) \times {2 \log _{2} x} = {1}$의 모든 해와 같다. $2 \left( \log _{2} x \right) ^{2} + 6 \log _{2} x - 1 = 0$에서 $\log _{2} x = t$라 하자. 이차방정식 $2 t ^{2} + 6 t - 1 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 3 ^{2} - 2 \times \left( - 1 \right) = 11 > 0$이므로 이차방정식 $2 t ^{2} + 6 t - 1 = 0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 이차방정식 $2 t ^{2} + 6 t - 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 방정식 $2 \left( \log _{2} x \right) ^{2} + 6 \log _{2} x - 1 = 0$은 $2 ^{\alpha}$, $2 ^{\beta}$을 서로 다른 두 실근으로 갖는다. 이때 이차방정식 $2 t ^{2} + 6 t - 1 = 0$에서 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = \mathit{-} 3$ 따라서 방정식 $8 \times f \left( f \left( x \right) \right) = f \left( x ^{2} \right)$의 모든 해의 곱은 $\displaystyle 2 ^{\alpha} \times 2 ^{\beta} = 2 ^{\alpha + \beta} = 2 ^{- 3} = \square {\frac{1}{8}}$이다. 따라서 $p = 3$, $\displaystyle q = \frac{1}{8}$, $g \left( x \right) = \log _{2} x$이므로 $\displaystyle p \times q \times g \left( 4 \right) = 3 \times \frac{1}{8} \times \log _{2} 4 = \frac{3}{4}$