미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

로그 함수 교점 개수

문제

두 양수 aa, bb(b<1)\left( b < 1 \right)에 대하여 함수 f(x)f \left( x \right)를 f(x)={−x2+ax(x≤0)ln⁡(x+b)x(x>0)\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} - x ^{2} + ax & \left( x \leq 0 \right) \\ \frac{\ln ( x + b )}{x} & \left( x > 0 \right) \end{cases} 이라 하자. 양수 mm에 대하여 직선 y=mxy = mx와 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 g(m)g \left( m \right)이라 할 때, 함수 g(m)g \left( m \right)은 다음 조건을 만족시킨다.

lim⁡m→α−g(m)−lim⁡m→α+g(m)=1\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow \alpha -} g \left( m \right) - \lim\limits _{m \rightarrow \alpha +} g \left( m \right) = 1을 만족시키는 양수 α\alpha가 오직 하나 존재하고, 이 α\alpha에 대하여 점 (b,f(b))\left( b , f \left( b \right) \right)는 직선 y=αxy = \alpha x와 곡선 y=f(x)y = f \left( x \right)의 교점이다.

ab2=qp\displaystyle ab ^{2} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이고, lim⁡x→∞f(x)=0\displaystyle \lim\limits _{{x \rightarrow \infty}} f \left( x \right) = 0이다.) [4점]

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5

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해설

그림과 같이 y=αxy = \alpha x가 원점에서 y=−x2+axy = - x ^{2} + ax에 접하고 점 (b,f(b))\left( b , f \left( b \right) \right)에서 y=ln⁡(x+b)x\displaystyle y = \frac{\ln \left( x + b \right)}{x}에 접할 때, lim⁡m→α−g(m)=3\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow \alpha -} {} g \left( m \right) = 3, lim⁡m→α+g(m)=2\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow \alpha +} {} g \left( m \right) = 2이므로 주어진 조건을 만족한다. y=−x2+axy = - x ^{2} + ax에서 y′=−2x+ay' = - 2 x + a y=ln⁡(x+b)x\displaystyle y = \frac{\ln \left( x + b \right)}{x}에서 y′=x−(x+b)ln⁡(x+b)x2(x+b)\displaystyle y' = \frac{x - \left( x + b \right) \ln \left( x + b \right)}{x ^{2} \left( x + b \right)} aa=ln⁡(2b)b2=b−2bln⁡(2b)2b3\displaystyle = \frac{\ln \left( 2 b \right)}{b ^{2}} = \frac{b - 2 b \ln \left( 2 b \right)}{2 b ^{3}} 이것을 풀면 ln⁡(2b)=14\displaystyle \ln \left( 2 b \right) = \frac{1}{4}이므로 ab2=14\displaystyle ab ^{2} = \frac{1}{4}, ∴\thereforep+q=4+1=5p + q = 4 + 1 = 5

태그

#접선#로그함수#교점 개수

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