로그 함수 등식의 순서쌍

[출제의도] 로그의 성질을 활용하여 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가? $f ( mn ) = f ( m ) + f ( n )$ ⅰ) $m$이 짝수, $n$이 짝수일 때 $\log _{2} mn = \log _{2} m + \log _{2} n$ 따라서, $m$과 $n$이 모두 짝수일 때는 항상 성립한다. 순서쌍 $( m , n )$의 개수는 $10 \times 10 = 100$(개) ⅱ) $m$이 짝수, $n$이 홀수일 때 $\log _{2} mn = \log _{2} m + \log _{3} n$ $\log _{2} n = \log _{3} n$ $\therefore n = 1$ 순서쌍 $( m , n )$의 개수는 $10 \times 1 = 10$(개) ⅲ) $m$이 홀수, $n$이 짝수 $\log _{2} mn = \log _{3} m + \log _{2} n$ $\log _{2} m = \log _{3} m$ $\therefore m = 1$ 순서쌍 $( m , n )$의 개수는 $1 \times 10 = 10$(개) ⅳ) $m$이 홀수, $n$이 홀수 $\log _{3} mn = \log _{3} m + \log _{3} n$ 따라서, $m$과 $n$이 모두 홀수일 때는 항상 성립한다. 순서쌍 $( m , n )$의 개수는 $10 \times 10 = 10$(개) ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에서 순서쌍 $( m , n )$의 개수는 $100 + 10 + 10 + 100 = 220$(개)