미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그 곡선 넓이

문제

곡선 y=xln⁡(x2+1)y = x \ln \left( x ^{2} + 1 \right)과 xx축 및 직선 x=1x = 1로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ①ln⁡2−12\displaystyle \ln 2 - \frac{1}{2}②ln⁡2−14\displaystyle \ln 2 - \frac{1}{4}③ln⁡2−16\displaystyle \ln 2 - \frac{1}{6}④ln⁡2−18\displaystyle \ln 2 - \frac{1}{8}⑤ln⁡2−110\displaystyle \ln 2 - \frac{1}{10}

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①

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해설

S=∫01xln⁡(x2+1)dx\displaystyle S = \int _{0} ^{1} x \ln ( x ^{2} + 1 ) dx x2+1=tx ^{2} + 1 = t로 치환하면 2xdx=dt2 x dx = dt S=∫1212ln⁡tdt\displaystyle S = \int _{1} ^{2} \frac{1}{2} \ln t dt =[12tln⁡t−12t]12\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} t \ln t - \frac{1}{2} t \right] _{1} ^{2}=ln⁡2−12\displaystyle = \ln 2 - \frac{1}{2}

태그

#넓이#치환적분

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