대수지수함수와 로그함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

로그 기울기 조건 합

문제

33보다 큰 자연수 nn에 대하여 f(n)f ( n )을 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 aa라 하자.

(가) a≥3a \geq 3 (나) 두 점 (2,0)( 2 , 0 ), (a,log⁡na)( a , \log _{n} a )를 지나는 직선의 기울기는 12\displaystyle \frac{1}{2}보다 작거나 같다.

예를 들어 f(5)=4f ( 5 ) = 4이다. ∑n=430f(n)\displaystyle \sum\limits _{n=4} ^{30} f ( n )의 값을 구하시오. [4점]

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해설

주어진 조건에서 log⁡naa−2≤12\displaystyle \frac{\log _{n} a}{a - 2} \leq \frac{1}{2}, log⁡na≤12(a−2)\displaystyle \log _{n} a \leq \frac{1}{2} ( a - 2 ) (a≥3)a \geq 3 ) (1,0)( 1 , 0 )을 지나는 로그함수와 기울기 12\displaystyle \frac{1}{2}이고 (2,0)( 2 , 0 )을 지나는 직선의 위치관계를 만족하는 가장 작은 자연수 aa를 f(n)f ( n )이라 정의하고 있으므로 (그래프 생략) f(4)=f(5)=⋯=f(8)=4f ( 4 ) = f ( 5 ) = \cdots = f ( 8 ) = 4 f(9)=f(10)=⋯=f(30)=3f ( 9 ) = f ( 10 ) = \cdots = f ( 30 ) = 3 그러므로 f(x)={4(4≤n≤8)3(n≥9)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} 4 & ( 4 \leq n \leq 8 ) \\ 3 & ( n \geq 9 ) \end{cases}} ∴\therefore∑n=430f(n)=4×5+3×22=86\displaystyle \sum\limits _{n=4} ^{30} f ( n ) = 4 \times 5 + 3 \times 22 = 86

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#로그함수#기울기

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