로그 기울기 최솟값

[출제의도] 로그를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 (나)에 의해 $\displaystyle \log _{n} \frac{m + 1}{m} < \frac{1}{3}$에서 $\displaystyle \frac{m + 1}{m} < n ^{\frac{1}{3}}$ $\therefore$ $\left( m + 1 \right) ^{3} < n \cdot m ^{3}$ ⅰ) $n = 3$일 때 $m = 2$이면 $\left( 2 + 1 \right) ^{3} > 3 \cdot 2 ^{3}$이므로 성립하지 않음 $m = 3$이면 $\left( 3 + 1 \right) ^{3} < 3 \cdot 3 ^{3}$이므로 $f ( 3 ) = 3$ ⅱ) $n = 4$일 때 $m = 2$이면 $\left( 2 + 1 \right) ^{3} < 4 \cdot 2 ^{3}$이므로 $f ( 4 ) = 2$ ⅲ) $n = 5$일 때 $m = 2$이면 $\left( 2 + 1 \right) ^{3} < 5 \cdot 2 ^{3}$이므로 $f ( 5 ) = 2$ ⅳ) $n = 6$일 때 $m = 2$이면 $\left( 2 + 1 \right) ^{3} < 6 \cdot 2 ^{3}$이므로 $f ( 6 ) = 2$ 따라서 $f ( 3 ) + f ( 4 ) + f ( 5 ) + f \left( 6 \right) = 9$ (별해) (나)에 의해 $\displaystyle \log _{n} \frac{m + 1}{m} < \frac{1}{3}$에서 $\displaystyle \frac{m + 1}{m} < n ^{\frac{1}{3}}$ ∴ $\displaystyle \left( \frac{m + 1}{m} \right) ^{3} < n$ ⅰ) $m = 2$일 때 $\displaystyle \left( \frac{2 + 1}{2} \right) ^{3} = \frac{27}{8} < n$이므로 $n = 4 , 5 , 6 , \cdots$ ∴ $f ( 4 ) = f ( 5 ) = f ( 6 ) = 2$ ⅱ) $m = 3$일 때 $\displaystyle \left( \frac{3 + 1}{3} \right) ^{3} = \frac{64}{27} < n$이므로 $n = 3 , 4 , 5 , \cdots$ ∴ $f ( 3 ) = 3$ 따라서 $f ( 3 ) + f ( 4 ) + f ( 5 ) + f \left( 6 \right) = 9$