로그 그래프 삼각형

두 함수 $f ( x ) = \log _{2} x$와 $g ( x ) = - \log _{2} x$의 그래프의 교점을 $\mathrm{A} _{1}$, 직선 $x = 2$가 세 함수 $y = f ( x )$, $y = 0$, $y = g ( x )$의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{B} _{1}$, $\mathrm{A} _{2}$, $\mathrm{C} _{1}$이라 하고 삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}$의 넓이를 $S _{1}$이라 하자. 직선 $x = 2 ^{2}$이 세 함수 $y = f ( x )$, $y = 0$, $y = g ( x )$의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{A} _{3}$, $\mathrm{C} _{2}$라 하고 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$의 넓이를 $S _{2}$라 하자. 직선 $x = 2 ^{3}$이 세 함수 $y = f ( x )$, $y = 0$, $y = g ( x )$의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{B} _{3}$, $\mathrm{A} _{4}$, $\mathrm{C} _{3}$라 하고 삼각형 $\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3}$의 넓이를 $S _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻어진 삼각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}$의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} S _{k}$의 값은? [4점]

①$9 \cdot 2 ^{10} + 1$②$9 \cdot 2 ^{11} + 1$③$10 \cdot 2 ^{10} + 1$④$10 \cdot 2 ^{11} + 1$⑤$11 \cdot 2 ^{11} + 1$