로그 그래프 교점 보기

$y = \log _{2} | 5 x |$, $y = \log _{2} ( x + 2 )$의 교점의 $x$좌표를 구하면 $| 5 x | = x + 2$ 에서 $x > 0$일 때 $5 x = x + 2$, $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ $x < 0$일 때 $- 5 x = x + 2$, $\displaystyle x = - \frac{1}{3}$ $\displaystyle \therefore \mathrm{A} \left( - \frac{1}{3} , \log _{2} \frac{5}{3} \right)$ $\displaystyle \therefore \mathrm{B} \left( \frac{1}{2} , \log _{2} \frac{5}{2} \right)$ $y = \log _{2} | 5 x |$는 $y$축에 대하여 대칭인 함수이므로 $y = \log _{2} | 5 x |$, $y = \log _{2} ( x + 2 )$, $y = \log _{2} ( x + m )$의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. $m > 2$이므로 그림에서 $\displaystyle r > \frac{1}{2}$, $\displaystyle p < - \frac{1}{3}$ $\therefore$ 참 ㄴ. $y = \log _{2} | 5 x |$, $y = \log _{2} ( x + m )$의 교점을 구하면 $| 5 x | = x + m$에서 $\displaystyle x = \frac{m}{4}$, $\displaystyle - \frac{m}{6}$ $\displaystyle \therefore \mathrm{C} \left( \mathit{-} \frac{m}{6} , \log _{2} \frac{5 m}{6} \right)$, $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{\mathit{m}}{4} , \log _{2} \frac{5 m}{4} \right)$ 직선 $\mathrm{A} B$의 기울기는 $\displaystyle \frac{\log _{2} \frac{5}{2} - \log _{2} \frac{5}{3}}{\frac{1}{2} - \left( - \frac{1}{3} \right)}$$\displaystyle = \frac{6}{5} \log _{2} \frac{3}{2}$ 직선 $\mathrm{C} D$의 기울기는 $\displaystyle \frac{\log _{2} \frac{5 m}{4} - \log _{2} \frac{5 m}{6}}{\frac{m}{4} - \left( - \frac{m}{6} \right)}$$\displaystyle = \frac{12}{5 m} \log _{2} \frac{3}{2}$ $m > 2$이므로 $\displaystyle \frac{12}{5 m} < \frac{6}{5}$ 따라서, 두 직선의 기울기는 서로 다르다. $\therefore$ 거짓 ㄷ. $\mathrm{B}$의 $y$좌표와 $\mathrm{C}$의 $y$좌표가 같으므로 $\displaystyle \log _{2} \frac{5}{2} = \log _{2} \frac{5 m}{6}$ $\therefore m = 3$ $\displaystyle \overline{\mathrm{B}} C$가 공통이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B}} C$를 밑변으로 하면 $\triangle \mathrm{A} BC$의 높이는 $\displaystyle \log _{2} \frac{5}{2} - \log _{2} \frac{5}{3} = \log _{2} \frac{3}{2}$ $\triangle \mathrm{D} BC$의 높이는 $\displaystyle \log _{2} \frac{5 m}{4} - \log _{2} \frac{5 m}{6} = \log _{2} \frac{3}{2}$ 따라서 $\triangle \mathrm{A} BC$, $\triangle \mathrm{D} BC$의 넓이는 같다. $\therefore$ 참