로그 같음 조건 비

$\log _{25} ( a - b ) = \log _{9} a = \log _{15} b = k$라 하면 $a - b = 25 ^{k}$$= 5 ^{2k}$ ⋯⋯ ㉠ $a = 9 ^{k}$$= 3 ^{2k}$ ⋯⋯ ㉡ $b = 15 ^{k}$$= 3 ^{k} \cdot 5 ^{k}$ ⋯⋯ ㉢ ㉠$\times$㉡$=$㉢${}^{2}$이 성립하므로 $( a - b ) a = b ^{2}$ 즉, $b ^{2} + ab - a ^{2} = 0$ $a > 0$이므로 위 식의 양변을 $a ^{2}$으로 나누면 $\displaystyle \left( \frac{b}{a} \right) ^{2} + \left( \frac{b}{a} \right) - 1 = 0$ ∴ $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$ 그런데 $a > 0$, $b > 0$이므로 $\displaystyle \frac{b}{a} > 0$이다. ∴ $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$