대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 치환 최댓값

문제

xy=10x y = 10이고 1≤x≤1041 \leq x \leq 10 ^{4}일 때, (log⁡10y)3+3(log⁡10x)2−6log⁡10x+15( \log _{10} y ) ^{3} + 3 ( \log _{10} x ) ^{2} - 6 \log _{10} x + 15의 최댓값을 구하시오. [3점]

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1616

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해설

xy=10xy = 10의 양변에 상용로그를 취하면log⁡y=1−log⁡x\log y = 1 - \log x 1≤x≤1041 \leq x \leq 10 ^{4}의 양변에 상용로그를 취하면 0≤log⁡x≤40 \leq \log x \leq 4 (log⁡10y)3+3(log⁡10x)2−6log⁡10x+15\left( \log _{10} y \right) ^{3} + 3 \left( \log _{10} x \right) ^{2} - 6 \log _{10} x + 15에서 log⁡10x=t\log _{10} x = t라 두면 f(t)=(1−t)3+3t2−6t+15=−t3+6t2−9t+16f ( t ) = ( 1 - t ) ^{3} + 3 t ^{2} - 6 t + 15 = - t ^{3} + 6 t ^{2} - 9 t + 16 (단, 0≤t≤40 \leq t \leq 4) f′(t)=−3t2+12t−9=−3(t−1)(t−3)f' ( t ) = - 3 t ^{2} + 12 t - 9 = - 3 ( t - 1 ) ( t - 3 )이고 f′(t)=0f' ( t ) = 0에서 t=1t = 1 또는 t=4t = 4 증감표를 그리면

xx0⋯1⋯3⋯4
f′(x)f' ( x )-0+0-
f(x)f ( x )16↘12↗16↘12

그러므로 최댓값은 1616

태그

#로그#치환#최댓값

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