대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 비 구하는 과정

문제

$\displaystyle c = a \log _{\sqrt{12}} 3 + b \log _{144} 2$ 를 만족하는 세 자연수 $a , b , c$ 에 대하여 $a : b : c$ 를 구하는 과정이다.


	$c$ 를 간단히 하면 $\displaystyle c = a \log _{\sqrt{12}} 3 + b \log _{144} 2$ $\displaystyle = \log _{\sqrt{12}} 3 ^{a} + \log _{144} 2 ^{b}$ $= \log _{12}$ 이므로 $=$ ( $3 ^{c} \cdot$ )이다. 따라서 $a : b : c =$ 이다.

이므로

(가)

$=$ ( $3 ^{c} \cdot$ (나)

)이다. 따라서 $a : b : c =$ (다)

이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	$\displaystyle 3 ^{2 a} 2 ^{\frac{b}{2}}$	$2 ^{2c}$	$1 : 4 : 2$
②	$\displaystyle 3 ^{\frac{a}{2}} 2 ^{2 b}$	$2 ^{2c}$	$1 : 8 : 2$
③	$\displaystyle 3 ^{2 a} 2 ^{\frac{b}{2}}$	$2 ^{2c}$	$1 : 8 : 2$
④	$\displaystyle 3 ^{\frac{a}{2}} 2 ^{2 b}$	$2 ^{c}$	$1 : 4 : 2$
⑤	$\displaystyle 3 ^{2 a} 2 ^{\frac{b}{2}}$	$2 ^{c}$	$1 : 4 : 2$

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③

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[출제의도] 로그의 성질을 이용한 추론문제 완성하기 $\displaystyle c = a \log _{\sqrt{12}} 3 + b \mathrm{\log} _{144} 2$ $\displaystyle = \log _{\sqrt{12}} 3 ^{a} + \log _{144} 2 ^{b}$ $\displaystyle = \log _{12} 3 ^{2 a} 2 ^{\frac{b}{2}}$ 이므로 $\displaystyle 3 ^{2 a} 2 ^{\frac{b}{2}} = ( 3 ^{c} \cdot 2 ^{2 c} )$ 이다. 따라서 $a : b : c = 1 : 8 : 2$ 이다.

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