평면 구 내적 최댓값

O에서 평면 $2 x + y + 2 z - 9 = 0$에 내린 수선의 발은 $( 2 , 1 , 2 )$, 거리는 3 따라서 P는 그림과 같은 원뿔은 밑면인 원 위의 점

그림에서 $\mathrm{\vec{OP}} \bullet {\vec{OQ}}$$= \mathrm{\vec{OP}} \cdot ( \vec{OO}' + \vec{O}' Q )$ 인데. 여기가 벡터 $\mathrm{\vec{OO}}'$, $\mathrm{\vec{O}}' Q$의 크기는 각각 $5$, $\displaystyle \sqrt{2}$으로 일정하다. 그리고 $\mathrm{\vec{OP}}$와 $\mathrm{\vec{O}}' Q$가 이루는 각은 모든 방향이 다 가능하므로 $\mathrm{\vec{OP}} \cdot \vec{O}' Q$ 는 $\displaystyle \left| \mathrm{\vec{OP}} \right| = 3 \sqrt{2}$일 때 최댓값 6을 갖는다. $\mathrm{\vec{OP}} \cdot \vec{OO}'$는 $\displaystyle \left| \mathrm{\vec{OP}} \right| = 3 \sqrt{2}$이고 $\mathrm{\vec{OP}}$와 $\mathrm{\vec{OO}}'$가 이루는 각의 크기가 최소일 때 최댓값을 갖는다. 즉 이 각의 크기는 $\vec{v} = ( 2 , 1 , 2 )$와 $\mathrm{\vec{OO}}' = ( 4 , - 3 , 0 )$이 이루는 각의 크기를 $\alpha$라 할 때, $\displaystyle \alpha - \frac{\pi}{4}$가 최소이다. 이때 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{3}$, $\displaystyle \sin \alpha = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$이므로 $\displaystyle \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$\displaystyle = \frac{4 + \sqrt{2}}{6}$ 따라서 $\mathrm{\vec{OP}} \cdot \vec{OO}'$의 최댓값은 $\displaystyle 3 \sqrt{2} \times 5 \times \frac{4 + \sqrt{2}}{6}$$\displaystyle = 5 + 10 \sqrt{2}$ 그러므로 $\mathrm{\vec{OP}} \bullet {\vec{OQ}}$$= \mathrm{\vec{OP}} \cdot ( \vec{OO}' + \vec{O}' Q )$ 의 최댓값은 $\displaystyle ( 5 + 10 \sqrt{2} ) + 6 = 11 + 10 \sqrt{2}$ $\therefore$ $a + b = 11 + 10 = 21$