평행사변형과 삼각형 넓이

$\angle \mathrm{AFC} \mathit{=} \alpha$, $\angle \mathrm{CDE} \mathit{=} \beta$라 하자. $\displaystyle \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$이므로 $\displaystyle \sin \alpha = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ $\angle \mathrm{ECD} \mathit{=} \angle \mathrm{EFB} \mathit{=} \pi - \alpha$ 삼각형 ${\mathrm{CDE}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{ED}}}}{\sin \left( \pi - \alpha \right)} = \frac{{\overline{\mathrm{EC}}}}{\sin \beta} = 10 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{ED}}} = 10 \sqrt{2} \times \sin \alpha = 10 \sqrt{2} \times \frac{3 \sqrt{10}}{10} = 6 \sqrt{5}$ $\displaystyle \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \beta = \frac{\pi}{4}$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{CD}}} = x$라 하자. 삼각형 ${\mathrm{CDE}}$에서 코사인법칙에 의하여 $180$$= x ^{2} + 100 - 2 \times x \times 10 \times \cos \left( \pi - \alpha \right)$ $= x ^{2} + 100 + 2 \times x \times 10 \times \cos \alpha$ $\displaystyle = x ^{2} + 2 \sqrt{10} x + 100$ $\displaystyle x ^{2} + 2 \sqrt{10} x - 80 = 0$이고 $x > 0$이므로 $\displaystyle x = - \sqrt{10} + \sqrt{10 + 80} = 2 \sqrt{10}$ $\displaystyle \angle {\mathrm{ABE}} \mathit{=} \angle {\mathrm{CDE}} \mathit{=} \frac{\pi}{4}$이므로 삼각형 ${\mathrm{ABE}}$는 직각이등변삼각형이다. $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{10}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{BE}}} = \overline{{\mathrm{AE}}} = 2 \sqrt{5}$ 두 삼각형 ${\mathrm{BEF}}$, ${\mathrm{DEC}}$는 서로 닮음이고 닮음비가 $1 : 3$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = \frac{2}{3} \times {\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{4 \sqrt{10}}{3}$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{AFE}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AF}}} \times {\overline{\mathrm{AE}}}$$\displaystyle \times \sin \frac{\pi}{4}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{4 \sqrt{10}}{3} \times 2 \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{20}{3}$