평행사변형 두 대각선 길이의 곱의 최댓값

실마리: 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 교점을 중선의 발로 보면 중선정리를 쓸 수 있다. 두 대각선의 교점을 $\mathrm{O}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BO}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{BD}}$ 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 점 $\mathrm{O}$는 변 $\mathrm{BD}$의 중점이므로 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{AD}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{AO}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{BO}} ^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = x$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = y$라 하면 $\displaystyle 25 + 9 = 2 \times \frac{x ^{2}}{4} + 2 \times \frac{y ^{2}}{4}$이므로 $x ^{2} + y ^{2} = 68$ 즉, 두 대각선의 길이의 제곱의 합은 평행사변형의 모양과 관계없이 $68$로 일정하다. $( x - y ) ^{2} \geq 0$에서 $x ^{2} + y ^{2} \geq 2 xy$이므로 $\displaystyle xy \leq \frac{68}{2} = 34$ 등호는 $x = y$, 즉 두 대각선의 길이가 같은 직사각형일 때 성립하고, 가로 $5$, 세로 $3$인 직사각형은 실제로 존재한다. (검산: 이 직사각형의 대각선의 길이는 $\displaystyle \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{34} \times \sqrt{34} = 34$) 따라서 구하는 최댓값은 $34$이다.