평행이동한 삼차함수 적분

$f ( x ) = x ^{3}$의 그래프를 $x$축 방향으로 $a$만큼, $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동시키면 $g ( x ) = ( x - a ) ^{3} + b$의 그래프가 된다. $g ( 0 ) = - a ^{3} + b = 0$이므로 $b = a ^{3} \cdots \cdots \text{㉠}$ 한편, 그래프의 평행이동에 의해 $\displaystyle \int _{a} ^{b} g ( x ) dx = \int _{a-c} ^{b-c} g ( x + c ) dx$가 성립함을 이용하면 $\displaystyle \int _{a} ^{3a} g ( x ) dx = \int _{a} ^{3a} \left\{ ( x - a ) ^{3} + b \right\} d x$$\displaystyle = \int _{0} ^{2a} \left( x ^{3} + b \right) d x$ $\displaystyle \therefore \int _{0} ^{2 a} {} \left( x ^{3} + b \right) dx - \int _{0} ^{2 a} {} x ^{3} dx = \int _{0} ^{2 a} {} bdx$ $= 2 ab = 32 \cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $2 a b = 2 a ^{4} = 32$이므로 $a ^{4} = 16$