평행이동한 포물선과 정의

[출제 의도] 포물선의 정의를 이용하여 포물선 위의 점에서 준선까지의 거리를 구할 수 있는가?

직선 $y$$= 2 x - 4$가 포물선 $y ^{2}$$= 8 x$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{E}$, $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{F}$라 하고, 점 $\mathrm{E}$에서 직선 $x = - 2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 또 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$에서 직선 ${\mathrm{H}} \mathit{\mathrm{E}}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$라 하자. 점 ${\mathrm{F}}$의 좌표는 $\left( 2 , 0 \right)$이므로 포물선 $y ^{2}$$= 8 x$의 초점과 일치한다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} \mathit{\mathrm{F}}}}$$= p$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{E} \mathit{\mathrm{F}}}}$$= q$라 하면 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}}$$= p$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{H}}}$$= q$ 이때 포물선의 준선의 방정식이 $x$$= - 2$이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{E}$의 $x$좌표는 각각 $p - 2$, $q - 2$이다. 선분 $\mathrm{AI}$와 $x$축의 교점을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{E}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{P}}}$$= p - 4$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{Q}}}$$= 4 - q$ 이므로 두 직각삼각형 $\mathrm{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{P}}$, $\mathrm{EFQ}$에서 $p$$\displaystyle = \sqrt{5} \left( p - 4 \right)$, $q$$\displaystyle = \sqrt{5} \left( 4 - q \right)$ 따라서 $p$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1}$$\displaystyle = \sqrt{5} \left( \sqrt{5} + 1 \right)$$\displaystyle = 5 + \sqrt{5}$ $q$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1}$$\displaystyle = \sqrt{5} \left( \sqrt{5} - 1 \right)$$\displaystyle = 5 - \sqrt{5}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EI}}$$= p - q$$\displaystyle = 2 \sqrt{5}$ 한편, 포물선 $\left( y - 2 a \right) ^{2}$$= 8 \left( x - a \right)$는 포물선 $y ^{2}$$= 8 x$를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 $y$축의 방향으로 $2 a$만큼 평행이동한 것이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 각각 두 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{A}$를 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $2 a$만큼 평행이동한 것이다. 따라서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}$$\displaystyle = \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}}}$이므로 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}} + \overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{D}}} - \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}$ $\displaystyle = \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}} + \overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{D}}} - \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}}}$ $\displaystyle = \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}} + \overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{D}}} - \left( \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{F}}} + \overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{F}}} \right)$ $\displaystyle = \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}} + \overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{D}}} - \left( \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}} + \overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{H}}} \right)$ $\displaystyle = \overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{D}}} - \overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{H}}}$ $\displaystyle = \overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{J}}}$ $\displaystyle = 2 \times \overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{I}}}$ $\displaystyle = 2 \times 2 \sqrt{5} = 4 \sqrt{5}$ 따라서 $\displaystyle k = 4 \sqrt{5}$이므로 $k ^{2} = 80$ [다른풀이] 직선 $y$$= 2 x - 4$가 포물선 $y ^{2}$$= 8 x$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{E}$, $x$축과 점을 $\mathrm{F}$라 하고, 점 $\mathrm{E}$에서 직선 $x = - 2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 또, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 직선 $\mathrm{HE}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$라 하자. 점 $\mathrm{F}$의 좌표는 $\left( 2 , 0 \right)$이므로 포물선 $y ^{2}$$= 8 x$의 초점과 일치한다. 이때 연립방정식 $\displaystyle {\begin{cases} y ^{2} = 8 x & \\ y = 2 x - 4 & \end{cases}}$ 의 해는 $y ^{2}$$= 4 \left( y + 4 \right)$ 즉, $y ^{2} - 4 y - 16$$= 0$에서 $\displaystyle y = 2 \pm 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle y = 2 + 2 \sqrt{5}$이면 $\displaystyle x = 3 + \sqrt{5}$ $\displaystyle y = 2 - 2 \sqrt{5}$이면 $\displaystyle x = 3 - \sqrt{5}$ 이므로 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{E}$의 좌표는 각각 $\displaystyle \mathrm{A} \left( 3 + \sqrt{5} , 2 + 2 \sqrt{5} \right)$, $\displaystyle \mathrm{E} \left( 3 - \sqrt{5} , 2 - 2 \sqrt{5} \right)$이다. 포물선 $\left( y - 2 a \right) ^{2}$$= 8 \left( x - a \right)$은 포물선 $y ^{2}$$= 8 x$를 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $2 a$만큼 평행이동한 것이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{AE}$ 따라서 포물선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} + \overline{BD} - \overline{AB}$ $\displaystyle \mathrm{=} \overline{AC} + \overline{BD} - \overline{AE}$ $\displaystyle \mathrm{=} \overline{AC} + \overline{BD} - \left( \overline{AF} + \overline{EF} \right)$ $\displaystyle \mathrm{=} \overline{AC} + \overline{BD} - \left( \overline{AC} + \overline{EH} \right)$ $\displaystyle \mathrm{=} \overline{BD} - \overline{EH}$ $\displaystyle \mathrm{=} \overline{EJ}$ $\displaystyle \mathrm{=} 2 \times \overline{EI}$ $\displaystyle \mathrm{=} 2 \times \left\{ \left( 3 + \sqrt{5} \right) - \left( 3 - \sqrt{5} \right) \right\}$ $\displaystyle = 4 \sqrt{5}$ $\displaystyle k = 4 \sqrt{5}$이므로 $k ^{2} = 80$