평행이동한 포물선

포물선 $C$가 원점을 지나므로 $\left( a - 1 \right) ^{2} = 1$, $a = 0$ 또는 $a = 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ 포물선 $C$의 초점의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{a + b}{4} - \frac{1}{a + b}$이고, 준선의 방정식은 $\displaystyle x = - \frac{a + b}{4} - \frac{1}{a + b}$이므로 이 포물선의 초점과 준선 사이의 거리는 $\displaystyle \left| \frac{a + b}{4} - \left( - \frac{a + b}{4} \right) \right| = 2$, $\displaystyle \left| \frac{a + b}{2} \right| = 2$, $\left| a + b \right| = 4$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a = 0$인 경우 $b = 4$ 또는 $b = - 4$ $a = 2$인 경우 $b = 2$ 또는 $b = - 6$ $a - b$의 최댓값 $M$은 $M = 2 - \left( - 6 \right) = 8$ $a - b$의 최솟값 $m$은 $m = 0 - 4 = - 4$ 이므로 $M - m = 8 - \left( - 4 \right) = 12$