미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

평행이동과 실근

문제

함수 f(x)=2x3−3x2−12x−10f ( x ) = 2 x ^{3} - 3 x ^{2} - 12 x - 10의 그래프를 yy축의 방향으로 aa 만큼 평행이동시켰더니 함수 y=g(x)y = g ( x )의 그래프가 되었다. 방정식 g(x)=0g ( x ) = 0이 서로 다른 두 실근만을 갖도록 하는 모든 aa의 값의 합을 구하시오. [3점]

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해설

g(x)=f(x)+ag ( x ) = f ( x ) + a이므로 방정식 g(x)=0g ( x ) = 0의 근은 방정식 f(x)=−af ( x ) = - a의 근과 같다. f′(x)=6x2−6x−12f' ( x ) = 6 x ^{2} - 6 x - 12 =6(x+1)(x−2)= 6 ( x + 1 ) ( x - 2 )=0= 0 에서 y=f(x)y = f ( x )의 그래프의 개형은 아래의 그림과 같다. y=f(x)y = f ( x ) y=−ay = - a

이 때, 방정식 g(x)=0g ( x ) = 0이 서로 다른 두 실근을 가질려면 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 직선 y=−ay = - a가 극대점 또는 극소점에서 접해야 하므로 −a=−30- a = - 30 또는 −a=−3- a = - 3 ∴\therefore a=30a = 30 또는 a=3a = 3 따라서 모든 aa의 값은 합은 3333

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#삼차함수#극값#실근

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