평행이동 사차함수

곡선 $y = g \left( x \right)$ 위의 점 $\left( 0 , g \left( 0 \right) \right)$에서의 접선의 방정식이 $y = 2 x + 1$이므로 $g \left( 0 \right) = 1$, $g' \left( 0 \right) = 2$이고 $f \left( 0 \right) = 1$, $f' \left( 0 \right) = 2$이다. 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 1$에서 미분가능하므로 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} g \left( x \right) = g \left( 1 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \left\{ f \left( x - 1 \right) + 2 \right\} = f \left( 1 \right)$ $f \left( 1 \right) = f \left( 0 \right) + 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 1$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 1 \right)}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 1 \right)}{x - 1}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 ^{-}} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 ^{+}} {} \frac{f \left( x - 1 \right) + 2 - f \left( 1 \right)}{x - 1}$ ㉠에서 $2 - f \left( 1 \right) = - f \left( 0 \right)$이므로 $f' \left( 1 \right) = f' \left( 0 \right) = 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 곡선 $y = f \left( x \right)$는 직선 $y = 2 x + 1$과 두 점 $\left( 0 , f \left( 0 \right) \right)$, $\left( 1 , f \left( 1 \right) \right)$에서 접한다. $f \left( x \right) - \left( 2 x + 1 \right) = x ^{2} \left( x - 1 \right) ^{2}$ $f \left( x \right) = x ^{2} \left( x - 1 \right) ^{2} + 2 x + 1 = x ^{4} - 2 x ^{3} + x ^{2} + 2 x + 1$ $f' \left( x \right) = 4 x ^{3} - 6 x ^{2} + 2 x + 2 = 2$ $2 x \left( 2 x - 1 \right) \left( x - 1 \right) = 0$ $g \left( x \right) = f \left( x \right) \left( x \leq 1 \right)$이므로 $x \leq 1$에서 $g' \left( x \right) = 2$인 $x$의 값은 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ 또는 $x = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ $g \left( x \right) = f \left( x - 1 \right) + 2 \left( x > 1 \right)$ 곡선 $y = f \left( x - 1 \right) + 2$는 곡선 $y = f \left( x \right)$를 $x$축의 방향으로 $1$, $y$축의 방향으로 $\mathrm{2}$만큼 평행이동한 곡선이므로 $x > 1$에서 $g' \left( x \right) = 2$인 $x$의 값은 $\displaystyle x = \frac{3}{2}$ 또는 $x = 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉢, ㉣에서 $g' \left( t \right) = 2$인 모든 실수 $t$의 값의 합은 $\displaystyle 0 + \frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} + 2 = 5$