평행이동 넓이 비

곡선 $y = g ( x )$는 곡선 $y = f ( x )$를 $x$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동시킨 것이고 곡선 $y = f ( x )$이 $x$축과 $x = 0$, $x = 4$일 때 만나므로 곡선 $y = g ( x )$는 $x$축과 $x = 2$, $x = 6$일 때 만난다. 따라서 두 곡선 $y = f ( x )$과 $y = g ( x )$는 직선 $\displaystyle x = \frac{4 + 2}{2}$$= 3$에서 대칭이므로 두 곡선의 교점의 $x$좌표는 $3$이고 $S _{1} = S _{2}$이다. $\displaystyle \int _{0} ^{3} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} ( - x ^{2} + 4 x ) dx$$\displaystyle = \left[ - \frac{x ^{3}}{3} + 2 x ^{2} \right] _{0} ^{3}$$= 9$ $\displaystyle \int _{3} ^{4} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{3} ^{4} ( - x ^{2} + 4 x ) dx$$\displaystyle = \left[ - \frac{x ^{3}}{3} + 2 x ^{2} \right] _{3} ^{4}$$\displaystyle = \frac{5}{3}$ $\displaystyle \int _{2} ^{3} g ( x ) dx = \int _{3} ^{4} f ( x ) dx$이므로 $S _{1}$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} f ( x ) dx - \int _{2} ^{3} g ( x ) dx$$\displaystyle = 9 - \frac{5}{3} = \frac{22}{3}$ $S _{2}$$\displaystyle = \int _{2} ^{3} g ( x ) dx + \int _{3} ^{4} f ( x ) dx$$\displaystyle = 2 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$ ∴ $\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1} + S _{3}}$$\displaystyle = \frac{\frac{10}{3}}{2 \times \frac{22}{3}}$$\displaystyle = \frac{5}{22}$