평행이동 절댓값 함수 연속

[출제의도] 도함수를 이용하여 추론하기 함수 $y$$= \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프는 그림과 같다.

함수 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프는 함수 $y$$= \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $k$만큼 평행이동한 것이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x$$=$$k + 3$에서만 불연속이다. ㄱ. $k$$= \mathit{-} 3$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left| f \left( x + 3 \right) \right|$$= 0$, $g \left( 0 \right)$$= \left| f \left( 0 + 3 \right) \right|$$= 0$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$= g \left( 0 \right)$ ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f \left( x \right)$$= 1$, $f \left( 0 \right)$$= \mathit{-} 1$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f \left( x \right) \ne f \left( 0 \right)$ $k \ne - 3$일 때 함수 $g \left( x \right)$는 $x$$= 0$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) \right\}$$\ne f \left( 0 \right) + g \left( 0 \right)$ $k$$= \mathit{-} 3$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right) = g \left( 0 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) \right\}$$\ne f \left( 0 \right) + g \left( 0 \right)$ 그러므로 모든 정수 $k$에 대하여 함수 $f \left( x \right) + g \left( x \right)$는 $x$$= 0$에서 불연속이다. (거짓) ㄷ. 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$가 $x$$= 0$에서 미분가능하기 위해서는 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$는 $x$$= 0$에서 연속이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f \left( x \right) g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f \left( x \right) g \left( x \right)$$\displaystyle = - \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g \left( x \right)$, $f \left( 0 \right) g \left( 0 \right)$$= \mathit{-} g \left( 0 \right)$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g \left( x \right)$$= \mathit{-} g \left( 0 \right)$ 모든 정수 $k$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$= g \left( 0 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} g \left( x \right)$$= g \left( 0 \right)$$= 0$ 그러므로 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$가 $x$$= 0$에서 연속이 되도록 하는 정수 $k$의 값은 $- 4$, $- 2$, $- 1$, $1$ (ⅰ) $k$$= \mathit{-} 4$ 또는 $k$$= 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{f \left( x \right) g \left( x \right) - f \left( 0 \right) g \left( 0 \right)}{x - 0}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{\left( x + 1 \right) \left( - x \right)}{x}$$= \mathit{-} 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{f \left( x \right) g \left( x \right) - f \left( 0 \right) g \left( 0 \right)}{x - 0}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\left( x - 1 \right) x}{x}$$= \mathit{-} 1$ 이므로 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$는 $x$$= 0$에서 미분가능하다. (ⅱ) $k$$= \mathit{-} 2$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{f \left( x \right) g \left( x \right) - f \left( 0 \right) g \left( 0 \right)}{x - 0}$$= 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{f \left( x \right) g \left( x \right) - f \left( 0 \right) g \left( 0 \right)}{x - 0}$$= 0$ 이므로 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$는 $x$$= 0$에서 미분가능하다. (ⅲ) $k$$= \mathit{-} 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{f \left( x \right) g \left( x \right) - f \left( 0 \right) g \left( 0 \right)}{x - 0}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{\left( x + 1 \right) \left( - x \right)}{x}$$= \mathit{-} 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{f \left( x \right) g \left( x \right) - f \left( 0 \right) g \left( 0 \right)}{x - 0}$$= 0$ 이므로 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$는 $x$$= 0$에서 미분가능하지 않다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 정수 $k$의 값의 합은 $- 4 + \left( - 2 \right) + 1$$= \mathit{-} 5$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ