평행이동 이차함수 연속

함수 $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = 0$에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} g \left( x \right) = g \left( 0 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g \left( x \right) = f \left( a \right) + b$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} f \left( x \right) = 5$ $g \left( 0 \right) = f \left( 0 \right) = 5$ $f \left( a \right) + b = 5$ $a ^{2} - 4 a + b = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} + 1$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서 최솟값 $1$을 갖는다. 함수 $y = f \left( x + a \right) + b$의 그래프는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 그래프이다. $f \left( x + a \right) + b = \left\{ x - \left( 2 - a \right) \right\} ^{2} + 1 + b$이므로 함수 $y = f \left( x + a \right) + b$는 $x = 2 - a$에서 최솟값 $1 + b$를 갖는다. (ⅰ) $2 - a \geq 0$인 경우 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$k = 4$ 또는 $k = 5$일 때, $\displaystyle \left| \lim\limits _{t \rightarrow k +} h \left( t \right) - \lim\limits _{t \rightarrow k -} h \left( t \right) \right| \neq 2$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $2 - a < 0$인 경우 $\displaystyle \left| \lim\limits _{t \rightarrow k +} h \left( t \right) - \lim\limits _{t \rightarrow k -} h \left( t \right) \right| = 2$를 만족시키는 $k$의 값이 $1$, $4$, $5$이므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$g \left( 2 - a \right) = 1 + b = 4$, $b = 3$ ㉠에 의하여 $a ^{2} - 4 a + 3 = 0$, $\left( a - 1 \right) \left( a - 3 \right) = 0$ $a > 2$이므로 $a = 3$ 따라서 $g \left( - 4 \right) = f \left( - 4 + 3 \right) + 3 = 10 + 3 = 13$