평행이동 이차함수 보기

[출제의도] 이차함수의 성질 추론하기 $y = x ^{2}$의 꼭짓점은 $\left( 0 , 0 \right)$이고, $y = x ^{2}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $n$($n$은 자연수)만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 그래프를 나타낸 함수 $y = f \left( x \right)$의 꼭짓점은 $\left( n , 3 \right)$이다. 그러므로 함수 $f ( x ) = \left( x - n \right) ^{2} + 3$ 이다. ㄱ. $f ( x ) = \left( x - n \right) ^{2} + 3$이므로 함수 $\left. f \left( x \right) \right.$의 최솟값은 $3$이다. (참) ㄴ. $n = 3$일 때, $f ( x ) = \left( x - 3 \right) ^{2} + 3$이므로 $\left( x - 3 \right) ^{2} + 3 = 10$ $x ^{2} - 6 x + 2 = 0$ 이므로 근과 계수의 관계에 의해 서로 다른 두 실근의 합은 $6$이다. (참) [다른 풀이] $n = 3$일 때, $f \left( x \right) = \left( x - 3 \right) ^{2} + 3$이므로 $y = f \left( x \right)$의 대칭축은 $x = 3$이다. 따라서 방정식 $f \left( x \right) = 10$의 서로 다른 두 실근의 합은 $6$이다. ㄷ. $\displaystyle \left( x - n \right) ^{2} + 3 = x - \frac{3 n - 4}{2}$ $\displaystyle x ^{2} - \left( 2 n + 1 \right) x + n ^{2} + \frac{3}{2} n + 1 = 0$ 에서 $\displaystyle x ^{2} - \left( 2 n + 1 \right) x + n ^{2} + \frac{3}{2} n + 1 = 0$의 판별식 $\displaystyle D = \left( 2 n + 1 \right) ^{2} - 4 \left( n ^{2} + \frac{3}{2} n + 1 \right) = - 2 n - 3$ 이고 $n$이 자연수이므로 $D < 0$이다. 그러므로 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = x - \frac{3 n - 4}{2}$는 만나지 않는다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.