평행이동 함수 적분

[출제의도] 평행이동을 이용하여 정의된 함수의 그래프를 추론하여 정적분의 값을 구한다. 문제에서 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} f ( x ) dx = 1$이고, 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

그러므로 그림에서 색칠된 영역의 넓이는 $3 - 1 = 2$ 닫힌구간 $\left[ 3 , 6 \right]$에서 $\displaystyle \int _{3} ^{6} {} g ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{3} ^{6} {} \left| g ( x ) \right| dx$는 곡선 $y = g ( x )$와 $x$축 및 두 직선 $x = 3$, $x = 6$으로 둘러싸인 도형의 넓이이므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 구하는 영역을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

닫힌구간 $\left[ 3 , 5 \right]$에서 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동하고 $y$축의 방향으로 $12$만큼 평행이동한 그래프이므로 $\displaystyle \int _{3} ^{5} {} g ( x ) dx$$= 2 \times 12$$= 24$ 닫힌구간 $\left[ 5 , 7 \right]$에서 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $6$만큼 평행이동하고 $y$축의 방향으로 $18$만큼 평행이동한 그래프이므로 $\displaystyle \int _{5} ^{6} {} g ( x ) dx$$= 15 \times 1 + 2 = 17$ 따라서 $\displaystyle \int _{3} ^{6} {} g ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{3} ^{5} {} g ( x ) dx + \int _{5} ^{6} {} g ( x ) dx$$= 41$