평행한 두 접선 보기

두 접점의 좌표를 $\mathrm{P} \left( \alpha , \alpha ^{3} - 3 \alpha ^{2} + 2 \alpha \right)$, $\mathrm{Q} \left( \beta , \beta ^{3} - 3 \beta ^{2} + 2 \beta \right)$라 하면 ㄱ. $y' = 3 x ^{2} - 6 x + 2$이므로 기울기가 $m$인 접선의 두 접점의 $x$좌표는 $3 x ^{2} - 6 x + 2 - m = 0$을 만족하므로 $\alpha + \beta = 2$이다. (참) ㄴ. 기울기가 $m$인 접선의 두 접점이 존재하므로 $\alpha$, $\beta$는 서로 다른 실수이다. $3 x ^{2} - 6 x + 2 - m = 0$ 이 서로 다른 실근을 가지므로 $3 ^{2} - 3 ( 2 - m ) > 0$ $\therefore$ $m > - 1$ (참) ㄷ. 두 접선은 평행하므로 두 접선 사이의 거리가 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$가 되기 위해서는 두 접점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$를 지나는 직선과 접선이 수직이어야 한다. 즉, 기울기의 곱은 $- 1$이다. $\displaystyle m \times \frac{\left( \alpha ^{3} - 3 \alpha ^{2} + 2 \alpha \right) - \left( \beta ^{3} - 3 \beta ^{2} + 2 \beta \right)}{\alpha - \beta} = - 1$ $m \left\{ \alpha ^{2} + \beta ^{2} + \alpha \beta - 3 ( \alpha + \beta ) + 2 \right\} = - 1$ $m \left\{ ( \alpha + \beta ) ^{2} - \alpha \beta - 3 ( \alpha + \beta ) + 2 \right\} = - 1$ 그런데, $\alpha , \beta$는 $3 x ^{2} - 6 x + 2 - m = 0$의 두 근이므로 근과 계수와의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 2$, $\displaystyle \alpha \beta = \frac{2 - m}{3}$ ∴ $\displaystyle m \left( \frac{2 - m}{3} \right) = 1$ ∴ $m ^{2} - 2 m + 3 = 0$ 판별식 $\displaystyle \frac{D}{4} = 1 ^{2} - 3 = - 2 < 0$이므로 실수 $m$이 존재하지 않는다. 따라서 두 접선 사이의 거리와 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$가 같아지는 실수 $m$은 존재하지 않는다. (거짓)