평균변화율 사차함수

$f \left( x \right)$에서 $x$의 값이 $1$에서 $t$$\left( t > 1 \right)$까지 변할 때의 평균변화율 $g \left( t \right)$는 $\displaystyle g \left( t \right) = \frac{f \left( t \right) - f \left( 1 \right)}{t - 1}$ 함수 $g \left( t \right)$가 $t = 2$에서 극댓값 $0$을 가지므로 $f \left( 1 \right) = f \left( 2 \right)$이고, 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서 극댓값을 갖는다. 그러므로 함수 $f \left( x \right)$는 $f \left( x \right) = k \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - \alpha \right) + f \left( 1 \right)$ (단, $k > 0$, $\alpha > 2$)이고, 함수 $g \left( t \right)$는 $g \left( t \right) = k \left( t - 2 \right) ^{2} \left( t - \alpha \right)$이다. 또한, 함수 $g \left( t \right)$의 최솟값이 존재하기 위해서는 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {g \left( t \right)} \geq g \left( p \right)$를 만족시키는 $p$($p > 2$)가 존재해야 한다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {g \left( t \right)} = g \left( p \right)$를 만족시키는 $p$를 $a$라 하면 $p = a$일 때, 방정식 $f \left( x \right) = f \left( 1 \right)$의 실근의 합은 최소가 된다. $\cdots \cdots \text{㉠}$ 두 함수 $f \left( x \right)$와 $g \left( t \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$y = f \left( x \right)$ $\alpha$ $y = f \left( 1 \right)$

$\alpha$ $y = g \left( t \right)$

함수 $g \left( t \right) = k \left( t - 2 \right) ^{2} \left( t - \alpha \right)$에 대하여 $g' \left( t \right)$$= 2 k \left( t - 2 \right) \left( t - \alpha \right) + k \left( t - 2 \right) ^{2}$$= k \left( t - 2 \right) \left\{ 3 t - \left( 2 \alpha + 2 \right) \right\}$ $g' \left( t \right) = 0$에서 $t = 2$, $\displaystyle \frac{2 \alpha + 2}{3}$ 따라서 함수 $g \left( t \right)$는 $\displaystyle t = \frac{2 \alpha + 2}{3}$에서 극소이며 $\displaystyle a = \frac{2 \alpha + 2}{3}$ ㉠에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {g \left( t \right)} = g \left( \frac{2 \alpha + 2}{3} \right)$ $\displaystyle k \left( 1 - \alpha \right) = k \left( \frac{2 \alpha + 2}{3} - 2 \right) ^{2} \left( \frac{2 \alpha + 2}{3} - \alpha \right)$ $27 \left( 1 - \alpha \right) = \mathit{-} 4 \left( \alpha - 2 \right) ^{3}$ $4 \alpha ^{3} - 24 \alpha ^{2} + 21 \alpha - 5 = 0$ $\left( \alpha - 5 \right) \left( 4 \alpha ^{2} - 4 \alpha + 1 \right) = 0$ $\therefore$ $\alpha = 5$ ($\because$ $\alpha > 2$) 방정식 $f \left( x \right) = f \left( 1 \right)$의 서로 다른 실근의 합이 최소일 때, $f \left( x \right) = k \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - 5 \right) + f \left( 1 \right)$ 따라서 서로 다른 실근의 합의 최솟값은 $1 + 2 + 5 = 8$