미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

평균변화율 부호 조건

문제

정수 aa (a≠0)( a \ne 0 )에 대하여 함수 f(x)f ( x )를 f(x)=x3−2ax2f ( x ) = x ^{3} - 2 ax ^{2} 이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 kk의 값의 곱이 −12- 12가 되도록 하는 aa에 대하여 f′(10)f' ( 10 )의 값을 구하시오. [4점]

함수 f(x)f ( x )에 대하여 {f(x1)−f(x2)x1−x2}×{f(x2)−f(x3)x2−x3}<0\displaystyle \left\{ \frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}} \right\} \times \left\{ \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{3} )}{x _{2} - x _{3}} \right\} < 0 을 만족시키는 세 실수 x1,x2,x3x _{1} , x _{2} , x _{3}이 열린구간 (k,k+32)\displaystyle \left( k , k + \frac{3}{2} \right)에 존재한다.

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380

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하고 함수의 극대, 극소를 고려하여 조건을 만족시키는 삼차함수를 찾아 미분계수를 구할 수 있는가 주어진 조건을 만족시키려면 열린구간 (k,k+32)\displaystyle \left( k , k + \frac{3}{2} \right)에 두 점 (x1,f(x1))\left( x _{1} , f \left( x _{1} \right) \right), (x2,f(x2))\left( x _{2} , f \left( x _{2} \right) \right)를 지나는 직선의 기울기와 두 점 (x2,f(x2))\left( x _{2} , f \left( x _{2} \right) \right), (x3,f(x3))\left( x _{3} , f \left( x _{3} \right) \right)을 지나는 직선의 기울기의 부호가 다른 세 실수 x1x _{1}, x2x _{2}, x3x _{3}이 존재해야 하는데, 그러려면 극대 또는 극소가 되는 점이 구간 (k,k+32)\displaystyle \left( k , k + \frac{3}{2} \right)에 존재해야 한다. 이때 f(x)=x3−2ax2f \left( x \right) = x ^{3} - 2 ax ^{2}에서 f′(x)=3x2−4axf' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 4 ax 이므로 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프의 개형을 aa의 값의 범위에 따라 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다. (ⅰ) a>0a > 0일 때

k=−1k = \mathit{-} 1일 때 x=0x = 0이 구간 (−1,12)\displaystyle \left( - 1 , \frac{1}{2} \right)에 존재하므로 조건을 만족시킨다. 또, x=43a\displaystyle x = \frac{4}{3} a가 구간 (k,k+32)\displaystyle \left( k , k + \frac{3}{2} \right)에 존재하려면 k<43a<k+32\displaystyle k < \frac{4}{3} a < k + \frac{3}{2} 이므로 43a−32<k<43a\displaystyle \frac{4}{3} a - \frac{3}{2} < k < \frac{4}{3} a 이어야 한다. 이때 조건을 만족시키는 모든 정수 kk의 값의 곱이 −12- 12가 되려면 이 구간에 k=3k = 3, k=4k = 4가 존재해야 하므로 43a−32<3\displaystyle \frac{4}{3} a - \frac{3}{2} < 3, 43a>4\displaystyle \frac{4}{3} a > 4 3<a<278\displaystyle 3 < a < \frac{27}{8} 그런데 이 부등식을 만족시키는 정수 aa는 존재하지 않는다. (ⅱ) a<0a < 0일 때

k=−1k = \mathit{-} 1일 때 x=0x = 0이 구간 (−1,12)\displaystyle \left( - 1 , \frac{1}{2} \right)에 존재하므로 조건을 만족시킨다. 또, x=43a\displaystyle x = \frac{4}{3} a가 구간 (k,k+32)\displaystyle \left( k , k + \frac{3}{2} \right)에 존재하려면 k<43a<k+32\displaystyle k < \frac{4}{3} a < k + \frac{3}{2} 이므로 43a−32<k<43a\displaystyle \frac{4}{3} a - \frac{3}{2} < k < \frac{4}{3} a 이어야 한다. 이때 조건을 만족시키는 모든 정수 kk의 값의 곱이 −12- 12가 되려면 이 구간에 k=−4k = \mathit{-} 4, k=−3k = \mathit{-} 3이 존재해야 하므로 43a−32<−4\displaystyle \frac{4}{3} a - \frac{3}{2} < {- 4}, 43a>−3\displaystyle \frac{4}{3} a > {- 3} −94<a<−158\displaystyle - \frac{9}{4} < a < {- \frac{15}{8}} 즉, a=−2a = \mathit{-} 2 (ⅰ), (ⅱ)에서 a=−2a = \mathit{-} 2이므로 f(x)=x3+4x2f \left( x \right) = x ^{3} + 4 x ^{2} f′(x)=3x2+8xf' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 8 x 따라서 f′(10)f' \left( 10 \right)=3×102+8×10=380= 3 \times 10 ^{2} + 8 \times 10 = 380

태그

#삼차함수#평균변화율#극값

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