포물선이 직선 아래로 안 내려갈 조건

모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + 7 x + k \geq x + 1$이어야 하므로 $x ^{2} + 6 x + k - 1 \geq 0$ 이차방정식 $x ^{2} + 6 x + k - 1 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 9 - ( k - 1 ) \leq 0$ $k \geq 10$ 따라서 $k$의 최솟값은 $10$이다.