포물선과 원의 교점

[출제의도] 직선의 방정식을 활용하여 문제해결하기 곡선 $y = ax ^{2}$과 직선 $y = mx + 4 a$가 만나는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\mathrm{A}$$\left( \alpha , {a} \alpha ^{2} \right)$, $\mathrm{B}$$\left( \beta , a {\beta} ^{2} \right)$ 이차방정식 $ax ^{2} - mx - 4 a = 0$의 두 실근이 $\alpha$, $\beta$이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{m}{a}$, $\alpha \beta = \mathit{-} 4$ 선분 $\mathrm{AB}$가 원 $C$의 지름이므로 $\mathrm{\angle}$$\mathrm{BOA} = 90 ^\circ$ 직선 $\mathrm{OA}$의 기울기와 직선 $\mathrm{OB}$의 기울기의 곱이 $- 1$이므로 $\displaystyle \frac{{a} \alpha ^{2} - 0}{\alpha - 0} \times \frac{{a} \beta ^{2} - 0}{\beta - 0}$$= a {\alpha} \times {a} \beta$$= a ^{2} \times {\alpha \beta}$$= \mathit{-} 4 \alpha ^{2} = \mathit{-} 1$ 에서 양수 $a$의 값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 점 $\mathrm{P}$$\displaystyle \left( k , \frac{k ^{2}}{2} \right)$은 원 $C$ 위의 점이므로 $\mathrm{\angle}$$\mathrm{APB} = 90 ^\circ$ 직선 $\mathrm{PA}$의 기울기와 직선 $\mathrm{PB}$의 기울기의 곱이 $- 1$이므로 $\displaystyle \frac{\frac{\alpha ^{2}}{2} - \frac{k ^{2}}{2}}{\alpha - k} \times \frac{\frac{\beta ^{2}}{2} - \frac{k ^{2}}{2}}{\beta - k}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \left( \alpha + k \right) \left( \beta + k \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \left\{ k ^{2} + \left( \alpha + \beta \right) k + \alpha \beta \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \left( k ^{2} + 2 mk - 4 \right) = \mathit{-} 1$ $k ^{2} + 2 mk = 0$, $k = \mathit{-} 2 m$이고 $\mathrm{P}$$\left( - 2 m , 2 m ^{2} \right)$ 점 $\mathrm{P}$$\left( - 2 m , 2 m ^{2} \right)$과 직선 $y = mx + 2$ 사이의 거리를 $d _{1}$이라 하면 $\displaystyle d _{1} = \frac{\left| m {\times} \left( - 2 m \right) - 2 m ^{2} + 2 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}}$$\displaystyle = \frac{\left| - 4 m ^{2} + 2 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}}$ 점 $\mathrm{O}$와 직선 $y = mx + 2$ 사이의 거리를 $d _{2}$라 하면 $\displaystyle d _{2} = \frac{2}{\sqrt{m ^{2} + 1}}$ 삼각형 $\mathrm{ABP}$와 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이의 비는 $d _{1} : d _{2}$이므로 $\displaystyle \frac{\left| - 4 m ^{2} + 2 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} : \frac{2}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 5 : 1$에서 $\left| - 4 m ^{2} + 2 \right| = 10$, $m ^{2} = 3$ $m$은 양수이므로 $\displaystyle m = \sqrt{3}$, $\displaystyle k = \mathit{-} 2 \sqrt{3}$ 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} x ^{2}$, $\displaystyle g \left( x \right) = \sqrt{3} x + 2$이므로 $f \left( k \right) + g \left( - k \right) = 6 \times 8 = 48$