포물선과 원의 교점

[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 추론하기 점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{PH}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$라 하고, 점 $\mathrm{Q}$에서 포물선 $C$의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{S}$라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = \mathit{k}$라 하면 $\displaystyle \frac{\tan \beta}{\tan \alpha} = \frac{\mathrm{\frac{{\overline{RQ}}}{{\overline{PR}}}}}{\frac{{\overline{RQ}}}{{\overline{RH}}}} = \frac{\mathrm{\mathrm{\overline{RH}}}}{\mathit{k}} = 3$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{RH}} = 3 \mathit{k}$ 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 포물선 $C$ 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = {\overline{PH}} = {\overline{PR}} + {\overline{RH}} = 4 \mathit{k}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} = {\overline{SQ}} = {\overline{RH}} = 3 \mathit{k}$ 한편 원 $O$의 지름이 선분 $\mathrm{PF}$이므로 삼각형 $\mathrm{PQF}$는 $\displaystyle \angle \mathrm{FQP} = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \sqrt{{\overline{PF}} ^{2} - {\overline{QF}} ^{2}} = \sqrt{16 \mathit{k} ^{2} - 9 k ^{2}} = \sqrt{7} \mathit{k}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} - \mathrm{\overline{PR}} ^{2} = \mathrm{\overline{QH}} ^{2} - \mathrm{\overline{RH}} ^{2}$ $\displaystyle 7 k ^{2} - k ^{2} = {\overline{\mathrm{QH}}} ^{2} - \mathit{9} k ^{2}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{QH}} = \sqrt{15} \mathit{k}$ 따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{{\overline{QH}}}}{{\overline{PQ}}} = \frac{\mathit{\sqrt{15}} k}{\sqrt{7} \mathit{k}} = \frac{\sqrt{105}}{7}$