공통수학1행렬과 그 연산수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

포물선과 원, 역행렬 존재

문제

이차함수 y=x2+1y = x ^{2} + 1 위의 점 A(a,b)\mathrm{A} ( \mathit{a} , b )와 원 (x+2)2+(y+2)2=r2( x + 2 ) ^{2} + ( y + 2 ) ^{2} = r ^{2}의 내부의 점 B(c,d)\mathrm{B} ( \mathit{c} , d )에 대하여 행렬 M=(abcd)\displaystyle M = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}라 정의하자. y=x2+1y = x ^{2} + 1 위의 임의의 점 A\mathrm{A}와 원 (x+2)2+(y+2)2=r2( x + 2 ) ^{2} + ( y + 2 ) ^{2} = r ^{2}의 내부의 임의의 점 B\mathrm{B}에 대하여 행렬 MM의 역행렬이 항상 존재하도록 rr의 값을 정할 때, 50r250 r ^{2}의 최댓값을 구하시오. [4점]

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40

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해설

[출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기 M=(abcd)\displaystyle M = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}의 역행렬이 존재하므로 ba≠dc\displaystyle \frac{b}{a} \ne \frac{d}{c}이다. 즉, 점 A\mathrm{A}와 점 B\mathrm{B}를 연결한 직선은 원점을 지나지 않는다. 원점을 지나며 함수 y=x2+1y = x ^{2} + 1에 접하는 직선은 y=2xy = 2 x이므로 rr은 y=2xy = 2 x와 (−2,−2)\left( - 2 , - 2 \right)사이의 거리보다 작거나 같아야 한다.

∴r≤25\displaystyle \therefore r \leq \frac{2}{\sqrt{5}} 그러므로 50r250 r ^{2}의 최댓값은 4040

태그

#역행렬#포물선#원

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