포물선과 타원 평행사변형

[출제의도] 이해능력-평면곡선

조건 (가), (나)를 만족시키는 점 $Q$는 그림과 같이 제3사분면의 점이다. 조건 (나)에서 사각형 $\mathrm{PF}' QF$가 평행사변형이고 그 둘레의 길이가 8이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + {\overline{PF'}} = 4$ 따라서 타원 $C$의 장축의 길이는 4이다. 초점의 좌표가 $\mathrm{F} ( 1 , 0 )$, $\mathrm{F}' ( - 1 , 0 )$이고, 장축의 길이가 4인 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$과 $y ^{2} = 4 x$를 연립하면 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + \frac{4 x}{3} = 1$, $3 x ^{2} + 16 x - 12 = 0$, $( x + 6 ) ( 3 x - 2 ) = 0$에서 $x = - 6$ 또는 $\displaystyle x = \frac{2}{3}$ 따라서 점 $P$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{2}{3}$이다. $\displaystyle y ^{2} = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$에서 $\displaystyle y = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ 따라서 점 $P$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} , \frac{2 \sqrt{6}}{3} \right)$이므로 사각형 $\mathrm{PF}' QF$의 넓이는 $\displaystyle 2 \times \frac{2 \sqrt{6}}{3} = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$