기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

포물선과 타원 장축

문제

포물선 y2=12xy ^{2} = 12 x의 초점을 F\mathrm{F}라 할 때, 중심이 원점이고 한 초점이 F\mathrm{F}이며 또 다른 초점이 F′\mathrm{F}'인 타원이 있다. 이 타원이 포물선 y2=12xy ^{2} = 12 x와 제11사분면에서 만나는 점을 P\mathrm{P}, 포물선 y2=12xy ^{2} = 12 x의 준선과 제22사분면에서 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. ∠F′QP=90∘\angle \mathrm{F}' Q P = 90 ^\circ일 때, 이 타원의 장축의 길이는? [3점] ①6+23\displaystyle 6 + 2 \sqrt{3}②1212③66\displaystyle 6 \sqrt{6}④1414⑤6+62\displaystyle 6 + 6 \sqrt{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 포물선과 타원의 정의와 성질을 이용하여 타원의 장축의 길이를 묻는 문제이다. 타원의 중심이 원점이므로 타원은 yy축에 대칭인 도형이고 ∠F′QP=90∘\mathrm{\angle} F' QP = 90 ^\circ이면 포물선의 준선과 yy축과의 길이가 33이므로 타원은 포물선과 점 P(3,6)\mathrm{P} ( 3 , 6 )에서 만난다. 그러므로 PF=QP=6\mathrm{PF} = QP = 6, PF′=62\displaystyle \mathrm{PF}' = 6 \sqrt{2}, 타원의 장축의 길이는 두 초점으로부터의 거리의 합이므로 6+62\displaystyle 6 + 6 \sqrt{2}

태그

#포물선#타원

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