포물선과 타원 교점

$\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $a + 1$이고 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = {\overline{PH}} = \overline{PF} = 2 \mathit{a} + 1$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = \overline{PF'} = \mathit{2} a + 4$이다. $\mathrm{\triangle PAF}$와 $\mathrm{\triangle F' FP}$는 닮음이므로 $2 a + 4 : 2 a + 1 = 2 a + 1 : 2$가 성립한다. ⇨ $( 2 a + 1 ) ^{2} = 2 ( 2 a + 4 )$ ⇨ $4 a ^{2} = 7$ $\therefore$$\displaystyle a = \frac{\sqrt{7}}{2}$이다. 한편 타원의 정의에 의하여 장축의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{F}' P + \overline{FP}}$와 같다. $\displaystyle \mathrm{\overline{F}' P + \overline{FP}} = \mathit{(} 2 a + 4 ) + ( 2 a + 1 )$$= 4 a + 5$$=$$\displaystyle 5 + 2 \sqrt{7}$ 따라서 $p = 5 , q = 2$이므로 $p ^{2} + q ^{2} = 29$이다. [다른 풀이] 포물선의 방정식은 $y ^{2} = 4 ax$이고, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $a + 1$이므로　$\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{a} + 1 , \sqrt{4 a ^{2} + 4 a} )$이다. 점 $\mathrm{P}$에서 포물선의 준선 $x = - a$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라고　하면　 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = {\overline{PA}} = {\overline{PH}} = \mathit{2} a + 1$ 또한 $\mathrm{F}$의 $x$좌표 $c$는 $a + 2$이고　 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = {\overline{FF'}} = \mathit{2} c = 2 a + 4$ 따라서 장축의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + {\overline{PF'}} = \mathit{4} a + 5$ 한편 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라고 하면　 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} ^{2} = {\overline{F' M}} ^{2} + {\overline{PM}} ^{2}$이므로　 $\displaystyle ( 2 a + 4 ) ^{2} = ( 2 a + 3 ) ^{2} + \left( \sqrt{4 a ^{2} + 4 a} \right) ^{2}$ $\displaystyle \therefore a = \frac{\sqrt{7}}{2}$ $\displaystyle ( \text{장축의 길이} ) = 4 a + 5 = 5 + 2 \sqrt{7}$ $\therefore p = 5 , q = 2$ $p ^{2} + q ^{2} = 29$