포물선과 타원

타원의 두 초점이 ${\mathrm{F}} \left( c , 0 \right)$, ${\mathrm{F}}' \left( - c , 0 \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{FF}}'}} = 2 c$ 조건 (나)에서 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{FF}}'}} : {\overline{\mathrm{FP}}} = 3 : 2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = \frac{4}{3} c$ 삼각형 ${\mathrm{F}}' {\mathrm{FP}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{{\mathrm{FF}}'}} ^{2} + {\overline{\mathrm{FP}}} ^{2} - 2 {\overline{{\mathrm{FF}}'}} \times {\overline{\mathrm{FP}}} \cos \left( \angle {\mathrm{F}}' {\mathrm{FP}} \right)$ $\displaystyle = \left( 2 c \right) ^{2} + \left( \frac{4}{3} c \right) ^{2} - 2 \times 2 c \times \frac{4}{3} c \times \left( - \frac{1}{4} \right)$ $\displaystyle = \frac{64}{9} c ^{2}$ $\therefore$ $\displaystyle {\mathrm{\overline{PF'}}} = \frac{8}{3} c$ 타원의 장축의 길이를 $2 a$, 단축의 길이를 $2 b$라 하면 $\displaystyle 2 a = {\overline{{\mathrm{PF}}'}} + {\overline{\mathrm{FP}}} = \frac{8}{3} c + \frac{4}{3} c = 4 c$, $a ^{2} = \left( 2 c \right) ^{2} = 4 c ^{2}$ $b ^{2} = a ^{2} - c ^{2} = \left( 2 c \right) ^{2} - c ^{2} = 3 c ^{2}$ 따라서 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4 c ^{2}} + \frac{y ^{2}}{3 c ^{2}} = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 ${\mathrm{P}}$가 제 $1$사분면 위의 점이므로 직선 ${\mathrm{PF}}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = - \cos \left( \angle {\mathrm{F}}' {\mathrm{FP}} \right) = \frac{1}{4}$ $\displaystyle \sin \theta = \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sqrt{15}$ 따라서 네 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{Q}$를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \sqrt{15}$이고 점 $\mathrm{F} \left( \mathit{c} , 0 \right)$을 지나므로 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \sqrt{15} \left( x - c \right)$ 타원 ㉠과 이 직선이 만나는 점은 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$이므로 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4 c ^{2}} + \frac{\left\{ \sqrt{15} \left( x - c \right) \right\} ^{2}}{3 c ^{2}} = 1$ $3 x ^{2} + 4 \times 15 \left( x - c \right) ^{2} = 12 c ^{2}$ $63 x ^{2} - 120 cx + 48 c ^{2} = 0$, $\left( 3 x - 4 c \right) \left( 7 x - 4 c \right) = 0$ $\displaystyle x = \frac{4}{3} c$ 또는 $\displaystyle x = \frac{4}{7} c$ 에서 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{4}{3} c$이고, 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{4}{7} c$이다. 포물선 $C$의 준선의 방정식을 $x = k$ ($k$는 상수)라 하자. 점 $\mathrm{P}$와 준선 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{4}{3} c - k$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = \mathrm{\overline{PF}} + \overline{FA} = \frac{\mathit{4}}{3} c + 1$이므로 $\displaystyle \frac{4}{3} c - k = \frac{4}{3} c + 1$에서 $k = - 1$ 점 $\mathrm{Q}$와 준선 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{4}{7} c + 1$ 직선 $\mathrm{QF}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각 $\theta$에 대하여 $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{\cos \theta} \times \left\{ \left( \mathrm{F} \right. \right.$의 $x$좌표)$-$($\mathrm{Q}$의 $x$좌표$) \}$ $\displaystyle = 4 \left( c - \frac{4}{7} c \right) = \frac{12}{7} c$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QA}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{QF} - \overline{FA}$$\displaystyle = \frac{12}{7} c - 1$이므로 $\displaystyle \frac{4}{7} c + 1 = \frac{12}{7} c - 1$에서 $\displaystyle c = \frac{7}{4}$ 따라서 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 각각 $\displaystyle \frac{7}{3}$, $1$이고 직선 $\mathrm{PQ}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각 $\theta$에 대하여 $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{\cos \theta} \times \left\{ \left( \mathrm{P} \right. \right.$의 $x$좌표)$-$($\mathrm{Q}$의 $x$좌표$) \}$ $\displaystyle = 4 \times \left( \frac{7}{3} - 1 \right)$$\displaystyle = \frac{16}{3}$