포물선과 타원

초점이 $\mathrm{F} \left( \mathit{p} , 0 \right)$, 준선이 $x = - p$이므로 포물선의 방정식은 $y ^{2} = 4 px$ 이때 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\mathrm{A} \left( \mathit{x} _{1} , y _{1} \right)$이라 놓으면 $y _{1} ^{2} = 4 px _{1}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{H}$의 중점의 $x$좌표는 $\displaystyle x = \frac{x _{1} + \left( - p \right)}{2}$ 세 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{A} ,$ $\mathrm{H}$를 지나는 타원의 방정식의 장축의 길이를 $2 a$, 타원의 초점 중 $\mathrm{B}$가 아닌 점을 $\mathrm{B}'$이라 놓으면 $\displaystyle 2 a = 2 \left\{ p - \frac{x _{1} + \left( - p \right)}{2} \right\}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \mathit{x} _{1} - \left( - p \right) = x _{1} + p$

삼각형 $\mathrm{AHB}$의 둘레의 길이가 $p + 27$이므로 $p + 27$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AH}}} + {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{HB}}}$ $\displaystyle = {\overline{\mathrm{AH}}} + {\overline{\mathrm{HB}'}} + {\overline{\mathrm{HB}}}$ $\displaystyle = \mathrm{\overline{AH}} + 2 \mathit{a}$ ($\because$장축의 길이$= 2 a$) $\displaystyle = x _{1} + p + 2 \left\{ p - \frac{x _{1} + \left( - p \right)}{2} \right\}$ $= 4 p$ $3 p = 27$ $\therefore$$p = 9$ 또한 삼각형 $\mathrm{AHB}$의 넓이가 $2 p + 12$이므로 $\displaystyle 2 p + 12 = \frac{1}{2} \left\{ x _{1} - \left( - p \right) \right\} \times y _{1}$, $60 = \left( x _{1} + 9 \right) y _{1}$ $\displaystyle y _{1} = \frac{60}{x _{1} + 9}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \left( \frac{60}{x _{1} + 9} \right) ^{2} = 36 x _{1}$, $\displaystyle \frac{100}{\left( x _{1} + 9 \right) ^{2}} = x _{1}$ $x _{1} ^{3} + 18 x _{1} ^{2} + 81 x _{1} - 100 = 0$, $\left( x _{1} - 1 \right) \left( x _{1} ^{2} + 19 x _{1} + 100 \right) = 0$ $\therefore$$x _{1} = 1$, $y _{1} = 6$ 따라서 두 점 $\mathrm{H}$, $\mathrm{F}$의 좌표는 $\mathrm{H} \left( - 9 , 6 \right)$, $\mathrm{F} \left( 9 , 0 \right)$이므로 선분 $\mathrm{HF}$의 길이는 $\displaystyle k = \sqrt{18 ^{2} + \left( - 6 \right) ^{2}} = \sqrt{360}$ $\therefore$$k ^{2} = 360$