기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선과 쌍곡선 넓이

문제

초점이 F(p,0)(p>0){\mathrm{F}} \left( p , 0 \right) \left( p > 0 \right)이고 준선이 x=−px = - p인 포물선이 있다. 점 F′(−p,0){\mathrm{F}}' \left( - p , 0 \right)에 대하여 cos⁡(∠PFF′)=15\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{PFF}}' \right) = \frac{1}{5}을 만족시키는 이 포물선 위의 점 중 제11사분면에 있는 점을 P{\mathrm{P}}라 하고, 선분 PF′{\mathrm{PF}}'의 중점을 R{\mathrm{R}}라 하자. 두 점 O{\mathrm{O}}, F′{\mathrm{F}}'을 초점으로 하고 점 R{\mathrm{R}}을 지나는 쌍곡선에 대하여 선분 PF′{\mathrm{PF}}'과 쌍곡선이 만나는 점 중 R{\mathrm{R}}가 아닌 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. 삼각형 QOR{\mathrm{QOR}}의 둘레의 길이가 1414일 때, 삼각형 PRO{\mathrm{PRO}}의 넓이를 SS라 하자. S2S ^{2}의 값을 구하시오. (단, O{\mathrm{O}}는 원점이다.) [4점]

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216

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해설

포물선의 방정식은 y2=4pxy ^{2} = 4 px이므로 포물선 위의 점 P{\mathrm{P}}의 좌표를 (m,n)\left( m , n \right) (m>0,n>0)\left( m > 0 , n > 0 \right)이라 하면 n2=4±n ^{2} = 4 \pm 점 P{\mathrm{P}}에서 직선 x=−px = - p에 내린 수선의 발을 P′\mathrm{P} \mathit{'}이라 하면 포물선의 정의에 의하여 PP′‾=PF‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{PP}}'}} = {\overline{\mathrm{PF}}}이므로 PF‾=p+m\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = p + m 점 P{\mathrm{P}}에서 xx축에 내린 수선의 발을 S{\mathrm{S}}라 하면 SF‾=p−m\displaystyle {\overline{\mathrm{SF}}} = p - m cos⁡(∠PFF′)=15\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{PFF}}' \right) = \frac{1}{5}이므로 SF‾PF‾=p−mp+m=15\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{SF}}}}{{\overline{\mathrm{PF}}}} = \frac{p - m}{p + m} = \frac{1}{5}, m=23p\displaystyle m = \frac{2}{3} p SF‾=p3\displaystyle {\overline{\mathrm{SF}}} = \frac{p}{3}이므로 PS‾=PF‾2−SF‾2=263p\displaystyle {\overline{\mathrm{PS}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{PF}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{SF}}} ^{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} p F′S‾=53p\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{S}}}} = \frac{5}{3} p이므로 PF′‾=PS‾2+F′S‾2=73p\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{PS}}} ^{2} + {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{S}}}} ^{2}} = \frac{7}{3} p F′P‾:F′R‾=F′F‾:F′O‾=2:1\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}} : {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{R}}}} = {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{F}}}} : {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{O}}}} = 2 : 1이므로 두 삼각형 PF′F{\mathrm{PF}}' {\mathrm{F}}와 RF′O{\mathrm{RF}}' {\mathrm{O}}는 서로 닮음이다. RF′‾=12×PF′‾=76p\displaystyle {\overline{{\mathrm{RF}}'}} = \frac{1}{2} \times {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = \frac{7}{6} p 쌍곡선의 주축의 길이를 2a2 a라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여 RF′‾−RO‾=QO‾−QF′‾=2a\displaystyle {\overline{{\mathrm{RF}}'}} - {\overline{\mathrm{RO}}} = {\overline{\mathrm{QO}}} - {\overline{{\mathrm{QF}}'}} = 2 a 삼각형 QOR{\mathrm{QOR}}의 둘레의 길이는 RQ‾+QO‾+RO‾\displaystyle {\overline{\mathrm{RQ}}} + {\overline{\mathrm{QO}}} + {\overline{\mathrm{RO}}}=(RF′‾−QF′‾)+QO‾+RO‾\displaystyle = \left( {\overline{{\mathrm{RF}}'}} - {\overline{{\mathrm{QF}}'}} \right) + {\overline{\mathrm{QO}}} + {\overline{\mathrm{RO}}} =RF′‾+(QO‾−QF′‾)+RO‾\displaystyle = {\overline{{\mathrm{RF}}'}} + \left( {\overline{\mathrm{QO}}} - {\overline{{\mathrm{QF}}'}} \right) + {\overline{\mathrm{RO}}} =RF′‾+(RF′‾−RO‾)+RO‾\displaystyle = {\overline{{\mathrm{RF}}'}} + \left( {\overline{{\mathrm{RF}}'}} - {\overline{\mathrm{RO}}} \right) + {\overline{\mathrm{RO}}} =2RF′‾=14\displaystyle = 2 {\overline{{\mathrm{RF}}'}} = 14이므로 RF′‾=7\displaystyle {\overline{{\mathrm{RF}}'}} = 7 그러므로 76p=7\displaystyle \frac{7}{6} p = 7, p=6p = 6 F′O‾=p=6\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{O}}}} = p = 6, PS‾=263p=46\displaystyle {\overline{\mathrm{PS}}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} p = 4 \sqrt{6}이고 삼각형 PRO{\mathrm{PRO}}의 넓이는 삼각형 PF′O{\mathrm{PF}}' {\mathrm{O}}의 넓이의 12\displaystyle \frac{1}{2}이므로 S=12×(12×F′O‾×PS‾)=66\displaystyle S = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \times {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{O}}}} \times {\overline{\mathrm{PS}}} \right) = 6 \sqrt{6} 따라서 S2=216S ^{2} = 216

태그

#포물선#쌍곡선

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