포물선과 쌍곡선

포물선이 꼭짓점이 $\left( 2 , 0 \right)$이고 초점이 ${\mathrm{F}} \left( c , 0 \right)$이므로 준선의 방정식은 $x = 4 - c$ 점 $\mathrm{P}$에서 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \overline{PH}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 12$이고, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표가 $c$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \mathit{c} - \left( 4 - c \right) = 2 c - 4$ ㉠에 대입하면 $12 = 2 c - 4$, $c = 8$ 삼각형 $\mathrm{PFF}'$에서 $\angle \mathrm{PFF}' = 90 ^\circ$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 12$, $\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = 2 \mathit{c} = 16$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}}$$\displaystyle = \sqrt{12 ^{2} + 16 ^{2}} = 20$ 쌍곡선의 정의에 의하여 $\displaystyle 2 a = \mathrm{\overline{PF'}} - \overline{PF} = 20 - 12 = 8$, $a = 4$ $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$에서 $4 ^{2} + b ^{2} = 8 ^{2}$, $b ^{2} = 48$ $\therefore$ $\left| a ^{2} - b ^{2} \right| = \left| 16 - 48 \right| = 32$ [다른 풀이] 포물선의 꼭짓점이 $\left( 2 , 0 \right)$이고 초점이 ${\mathrm{F}} \left( c , 0 \right)$이므로 포물선의 방정식은 $y ^{2} = 4 \left( c - 2 \right) \left( x - 2 \right)$ 선분 ${\mathrm{PF}}$가 $x$축에 수직이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = 12$, 점 ${\mathrm{P}}$가 제$1$사분면 위의 점이므로 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $\left( c , 12 \right)$ 점 ${\mathrm{P}} \left( c , 12 \right)$는 포물선 $y ^{2} = 4 \left( c - 2 \right) \left( x - 2 \right)$ 위의 점이므로 $12 ^{2} = 4 \left( c - 2 \right) \left( c - 2 \right)$, $\left( c - 2 \right) ^{2} = 36$ $c - 2 = 6$ 또는 $c - 2 = - 6$ $\therefore$ $c = 8$ 또는 $c = - 4$ 쌍곡선의 초점 $c$는 주축의 꼭짓점 $a$보다 크고, 문제의 조건에서 $a > 2$이므로 $c > 2$이다. $\therefore c = 8$ 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $\left( 8 , 12 \right)$이고, 이 점은 쌍곡선 $\displaystyle C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{8 ^{2}}{a ^{2}} - \frac{12 ^{2}}{b ^{2}} = 1$, $\displaystyle \frac{64}{a ^{2}} - \frac{144}{b ^{2}} = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 또한 $c ^{2} = a ^{2} + b ^{2}$, 즉 $64 = a ^{2} + b ^{2}$이므로 $b ^{2} = 64 - a ^{2}$을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \frac{64}{a ^{2}} - \frac{144}{64 - a ^{2}} = 1$, $64 \left( 64 - a ^{2} \right) - 144 a ^{2} = a ^{2} \left( 64 - a ^{2} \right)$ $\left( a ^{2} \right) ^{2} - 272 a ^{2} + 4096 = 0$, $\left( a ^{2} - 16 \right) \left( a ^{2} - 256 \right) = 0$ $\therefore$ $a ^{2} = 16$ 또는 $a ^{2} = 256$ $b ^{2} = 64 - a ^{2} > 0$이므로 $a ^{2} = 16$, $a = 4 \left( \because a > 2 \right)$ $\therefore b ^{2} = 64 - 16 = 48$ 따라서 구하는 값은 $\left| a ^{2} - b ^{2} \left| = \left| 16 - 48 \left| = \left| - 32 \left| = 32 \right. \right. \right. \right. \right. \right.$