기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선과 쌍곡선

문제

그림과 같이 $\mathrm{F} \mathit{(} p , 0 )$ 을 초점으로 하는 포물선 $y ^{2} = 4 px$ 와 $\mathrm{F} \mathit{(} p , 0 )$ 과 $\mathrm{F}' \mathit{(} - p , 0 )$ 을 초점으로 하는 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $\left( a > 0 , b > 0 \right)$ 이 제 $1$ 사분면에서 만나는 점을 ${\mathrm{A}}$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = 5$ , $\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{AFF}' ) = - \frac{1}{5}$ 일 때, $ab$ 의 값은? [4점]

① $1$ ② $\displaystyle \sqrt{3}$ ③ $\displaystyle \sqrt{5}$ ④ $\displaystyle \sqrt{7}$ ⑤ $3$

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②

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해설

[출제의도] 포물선과 쌍곡선의 성질 이해하기

점 $\mathrm{A}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하면, $\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{AFH} ) = \frac{1}{5}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{FH}} = 1$ 포물선의 정의에 의하여 $2 p + 1 = 5$ $\therefore p = 2$ $\displaystyle \mathrm{A} ( 3 , 2 \sqrt{6} )$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}}' = 7$ 쌍곡선의 정의에 의하여 $\displaystyle \left| \mathrm{\overline{AF'}} - \overline{AF} \right| = 2 {\mathit{a}} = 2$ $\displaystyle a = 1 , b = \sqrt{3}$ $\displaystyle \therefore ab = \sqrt{3}$

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